Grafos conexos, autobuses y trenes

Hace un cierto tiempo estábamos en clase de matemática Discreta y uno de mis profesores me propuso ver si los mapas de metro de Londres y de Tokyo eran conexos. Yo como cualquier otra persona no normal en lugar de pasar tres pueblos del asunto me dediqué a comprobarlo.

El metro de Londres tiene un mapa muy bonito y la verdad es que la red y las líneas son muy chulas (voy a apartar aquí mi vena de friki de los transportes). El mapa como muchos sabréis es un grafo pues se representa la conexión entre las estaciones muchas veces distorsionando las direcciones y las distancias según conveniencia.

Ahora uno ve el de Tokyo y parece un absoluto caos pero en realidad no lo es tanto porque si nos fijamos nos va poniendo el orden de las estaciones según las líneas. Así tenemos una ventaja, si alguna vez en tu vida tienes que coger el metro de Tokyo (No nos dirás que este blog no es útil) viendo dos estaciones de la misma línea sabes cuántas estaciones hay entre ambas sin tener que contarlas lo que puede ser tedioso. (Y las intersecciones de líneas son mucho más claras)

Os hago spoiler: Ambos mapas de metro son conexos, es decir, desde cualquier estación se puede llegar a cualquier otra de la red.

Lo que hice para llegar a esa conclusión es dado un tren de una línea podemos llegar a cualquier estación de dicha línea luego podemos representar esa línea como un vértice del grafo y si el grafo formado por todas las líneas es conexo tenemos nuestro objetivo (OLÉ)

En ambos casos el grafo es conexo y de hecho tiene diámetro menor que 4. Para aquellos que no sepáis lo que es el diámetro de un grafo es dado un vértice cualquiera (línea en nuestro caso) cuál es el mínimo de aristas que hemos de recorrer (cambio de línea) para llegar a cualquier otro de los vértices (cualquier otra línea). Dicho de otra forma, el número de cambios de línea para pasar entre dos líneas cualesquiera del grafo. Es fácil comprobar que por ejemplo en el de Londres partiendo de la línea Circle con a lo sumo 2 cambios podemos llegar a cualquier línea. Por consiguiente el diámetro será a lo sumo 4 pues desde una línea cualquiera podemos llegar a lo sumo en dos cambios a la línea Circle y luego de esta a cualquier otra.

Sin embargo, no tiene por qué ser 4 el diámetro. Sabemos que está acotado superiormente por 4 y inferiormente por 2 pues de por ejemplo otra vez la línea Circle no se puede conectar con todas las demás. Hay un teorema en teoría de grafos que dice que el diámetro ha de ser menor que 2 veces el radio lo cual tiene sentido por lo que hemos explicado.

Os dejamos aquí los grafos resultantes de los metros de Londres y Tokyo.

Este es el grafo representado en Geogebra del metro de Londres

Y este es el correspondiente del metro de Tokyo

Por supuesto no hemos hecho estudio con el metro de Sevilla pues se trata del grafo trivial. Consta de un solo punto (vértice) al solo tener por ahora (y seguramente por bastantes años) una única línea. Al menos lo que nos indica las estaciones y sus conexiones si es un grafo aunque demasiado aburrido como para dedicarle más de 4 líneas.

Un día volviendo en el autobús le enseñé a un compañero mío esto y entonces dijo, ¿Y se te ha ocurrido hacerlo de los autobuses de Sevilla? cosa que en un principio me había planteado pero si ya los grafos de estos mapas de metro son algo complicados no me quería imaginar el de la red de autobuses. Pero como bien dijo Prado Bassas lo que mueve la ciencia es el ``No hay huevos`` y esa misma noche ante el reto de mi compañero me dediqué a elaborar dicho grafo.

Eso sí, solo consideré como conexión si era exactamente en la misma parada pues si no entraba el dilema de cuanta distancia tenían que separar dos paradas para que no se consideraran enlace. Además de la dificultad de medir eso y la gran posibilidad de cometer errores al hacerlo (y no disponer de tanto tiempo)

Si os fijáis el tranvía (T1) es la única línea que no está conectada con las demás al no tener técnicamente paradas en común por el resto. Lo restante sí es conexo y de hecho en su momento calculamos (el desarrollo mediante fuerza bruta me lo voy a ahorrar) que el diámetro era bien o 3 o 4. Si alguno de vosotros por algún extraño motivo quiere hallar la respuesta exacta y mandárnosla a culturamates@gmail.com no nos quejaremos (entenderemos evidentemente lo contrario). Esperamos que os haya gustado esta entrada y nos vemos en la próxima :)