Primos de Mersenne y Números Perfectos

Hola Culturetas, hoy vamos a ver la fuerte relación que hay entre estos dos grupos de números que aparentemente no tienen nada que ver, vamos a conocer a nuestros protagonistas:

- Números perfectos: Son aquellos naturales tal que la suma de sus divisores propios (sus divisores salvo el propio número) te da el propio número. Por ejemplo $$6 = 1+2+3 \hspace{2cm} 28= 1+2+4+7+14$$ Estos son los dos primeros números perfectos y son bastante escasos. Destaca esta frase de Descartes: "Los números perfectos, al igual que los hombres perfectos son muy escasos"

- Primos de Mersenne: Son los números primos de la forma $2^n-1$. Deben su nombre al matemático Marin Mersenne que abarcó campos tan variados como la teología, las matemáticas y la teoría musical. Vivió del 1588 al 1648.

 No se sabe a día de hoy si hay infinitos primos de Mersenne, n si hay infinitos números perfectos. Como curiosidad todos los números perfectos que se conocen son pares, a día de hoy no se ha encontrado ningún número perfecto impar, ni se ha demostrado que no haya ninguno.

Ya sabes otra cosa qué demostrar si quieres ser medianamente famoso😉 aunque te recomendamos que te centres en las demostraciones de la carrera, que en comparación con estas cosas no son tan difíciles.

Pues existe una biyección entre los números primos de Mersenne y los números perfectos pares, por ello ahora conocemos tantos números perfectos como primos de Mersenne y cada vez que se encuentra un nuevo primo y toda la comunidad matemática lo celebra (o al menos el que suscribe) descubrimos un nuevo número perfecto. (Los números primos que se buscan son primos de Mersene más info aquí)

Y lo mejor de todo es que se puede demostrar de forma relativamente sencilla para que todos podamos estar seguros de que este resultado es cierto.

La aplicación que vamos a probar que es una biyección es que si $2^n -1$ es un primo de Mersenne entonces $2^{n-1} (2^n -1)$ es un número perfecto.

La implicación $\fbox{$\Longrightarrow$}$ fue probada por Euclides hace más de 2300 años mientras que la otra implicación fue hecha por Euler (si es que era un ansias el pobre como todos sabemos).

$\fbox{$\Longrightarrow$}$

Supongamos $2^n -1$ primo de Mersenne. Queremos probar que $2^{n-1} (2^n - 1)$ es un número perfecto.

Los divisores de este producto serán $2,2^2,...,2^{n-1}$ (pues dividen al primer factor),  $(2^n -1)$, pues es el segundo factor, y el producto de las potencias de 2 que descomponen el primer factor con $(2^n-1)$. No hay otros divisores pues $(2^n-1)$ es primo por hipótesis y no tiene más divisores.

Luego la suma será $$2+2^2+...+2^{n-1} + 2(2^n-1) +2^2(2^n-1)+2^3(2^n-1)+...2^{n-2} (2^n-1)$$

$$= (2^n-1) + (2^{n-1}-1)(2^n-1)$$

Nota: El primer sumando es la suma de las potencias de $2, 2+2^2+...2^k = 2^{k+1}-1$

El segundo sumando sale de aplicar esto mismo sacando $(2^n-1)$ de factor común de la suma y tenemos lo que queríamos demostrar (si no ves este paso saca factor común $(2^n -1)$ y sale fácil.

$\fbox{$\Longleftarrow$}$

Vamos a para simplificar la notación denotar por $\sigma (a)$ la suma de los divisores de a (incluye a). 

Es una propiedad de $\sigma$ que $\sigma  (a\cdot b) = \sigma  (a)\cdot \sigma (b)$.

Supongamos que tenemos un número perfecto par y lo descomponemos parcialmente como $2^k x$ con $k\in\mathbb{N}$ máximo natural tal que $2^k$ divide a este perfecto arbitrario, por tanto x es impar. Para que sea perfecto sigma del número ha de ser el doble del número (los divisores propios suman el número más él mismo).

Esto significa que  $(2^{k+1} x) = \sigma (2^k x) = \sigma (x)  (2^{k+1} -1)$  aquí hemos usado la propiedad de $\sigma$ y que por lo que vimos en la otra implicación $\sigma (2^k) = 2^{k+1} -1$ 

El factor de (2^(k+1)-1) es impar mayor o igual que 3 y divide o es igual a x, el único factor impar del lado izquierdo. Por consiguiente $y = \displaystyle\frac{x}{2^{k+1}-1}$ es un divisor propio de x. Dividiendo ahora ambos lados de la igualdad por (2^(k+1)-1) y teniendo en cuenta los divisores conocidos x e y llegamos a:

$2^{k + 1}y = \sigma (x) = x + y +$ otros divisores = $2^{k + 1}$ y $+$ otros divisores y para que esto se cumple no puede haber otros divisores y llegamos a $y =1$ y x primo de la forma $2^{k+1} -1$ (es decir Primo de Mersenne)

Luego tenemos lo que queríamos probar, somos felices y comemos perdices.

Tenéis la demostración más despacito clara al ser en vídeo en: Vídeo Inglés Prueba

Nos vemos en la próxima entrada del blog y esperamos que os haya gustado😃