Supongo que estáis al tanto de las elecciones andaluzas que se acercan. Pero aunque el tema de hoy va a estar relacionado con las elecciones no hablaremos de estas en particular si no como buenos matemáticos trataremos temas de elecciones en general.
¿Por qué solo votamos a la persona que más queremos?
¿No sería quizá más lógico ordenar a los distintos candidatos?
Supongamos por un momento, que tenemos una cantidad arbitraria n de candidatos a un puesto de gobierno. Si n=1 y n=2 es trivial ordenar cual se prefiere en general sin importar el número de votantes, (Aquí vamos a abstenernos de hablar del reparto de escaños y similar, solo quien gana las elecciones)
Pero si ya tenemos 3 candidatos a lo mejor nos interesa no solo saber quien es más querido entre las masas, si no también quien lo es menos y a lo mejor no nos vale con que solo vote cada persona a su candidato preferido. Digamos que ordenan su preferencia de candidatos (1ero el que más quieren, 3ro el que menos) y sale lo siguiente entre 1000 votantes
1ºPos 2ºPos 3ºPos
A 480 0 520
B 210 790 0
C 290 0 710
Aquí por ejemplo con el modelo tradicional saldría A en primera posición, C en segunda y B en tercera. Pero por ejemplo aquí se pierde la gran cantidad de gente que aunque no es B su favorito lo prefiere antes de C. ¿Debería ser entonces ser el orden A,C,B?
Pero incluso podríamos argumentar que en conjunto B es más querido que A pues 520 personas prefieren a B antes que a A lo cual es mayoría. ¿Debería ser el orden B,C,A?
Como veis es una tarea nada sencilla. Pero vamos a tratar de seguir adelante con este modelo en el que se ordenan los distintos candidatos, vamos a establecer unas reglas básicas de en función de las votaciones como tendrían que salir los resultados y a ver a que llegamos😃
- Dada las ordenaciones de preferencia de los n candidatos de digamos m votantes, hemos de ser capaces de ordenar a los distintos candidatos. (No estamos diciendo acorde a que reglas solo que dada m n-uplas (las ordenaciones de candidatos de cada votante) hemos de poder sacar una n-upla (la preferencia conjunta de los votantes))
- Debe ser un sistema determinístico; es decir, no puede haber ningún tipo de factor aleatorio. Si repetimos la votación y por ejemplo los votantes vienen en otro orden no puede afectar, ni se puede decir pues tomamos lo que vote la persona número 400.
- Si todos los individuos prefieren digamos al candidato A con respecto a B (es decir, todos han puesto mejor a A que a B al ordenar a los n candidatos) entonces eso se tiene que ver reflejado en los resultados, es decir, ha de aparecer A por delante de B. (Nota: Esto se denomina Eficiencia de Pareto)
Por ahora todas estas condiciones parecen muy lógicas y no aparece nada extraño. De hecho parece que incluso deberíamos pedir que alguna de las condiciones fueran más fuertes pues imaginemos 1 millón de votantes, si todos menos 1 prefieren a A que a B ¿No deberíamos exigir también que saliera A?
Pues ni siquiera vamos a pedir esto, dado que estas son las hipótesis del teorema de Arrow que nos dice:
Teorema de Arrow (Versión informal): Dadas las condiciones anteriores, la única forma de que en general dada cualquier votación de los m votantes podamos ordenar los n candidatos (notemos que el n no es fijo pues según las elecciones variará) es que $m=1$
Es decir, que se de el caso de la dictadura. Es evidente que si solo vota 1 persona se puede realizar el proceso pero es increíble que solo pidiendo esto haya elecciones en las que no se pueda satisfacer a menos que solo se tenga en cuenta el voto de una persona.😱
En muchas ocasiones el Teorema se conoce como el teorema de imposibilidad de Arrow y se enuncia de forma que sea hipótesis que el resultado de la votación no puede depender de una única persona para que el resultado sea que no es posible.
El nombre del teorema proviene de Kenneth Arrow que era un economista estadounidense, para os hagáis a la idea de lo reciente que es todo esto (al menos para el campo de las matemáticas y la teoría de decisiones) Kenneth Arrow murió en febrero de 2017.
La demostración de este resultado es compleja; de hecho, la versión presentada aquí es una más fuerte que se demostró en 1963 (antes se exigían más condiciones)
Os dejo este Vídeo explicativo (El vídeo explica la versión débil) en inglés que ilustra de maravilla lo que os he contado y también para lo más ansias un paper con la prueba:
Esquema de la prueba y prueba para n=3
Ya tenéis algo que contar cuando estéis esperando para votar el 2D o si queréis que os odie el de la mesa electoral de turno
Espero que os haya gustado la entrada😉, disculpad que no haya habido en los últimos dos meses pero andamos liados.
¿Tienes algo que quieras publicar aquí que te guste relacionado con las matemáticas? Mándalo a culturamates@gmail.com, veremos si es posible y te daremos crédito en la entrada; ampliemos el blog entre tod@s.
Como diría Clara Grima, ¡Que las matemáticas os acompañen!
