Las matemáticas del juego del Pick a Perro/Cerdo (Pick-a-Dog/Pig)

Este verano he jugado varias veces a este juego y aparte de ser destrozado por varios familiares en el mismo, me planteé una serie de cuestiones matemáticas que me parecieron bastante interesantes relacionadas con este. Si no conoces el juego no te preocupes, ahora te lo explico :)

¿En qué consiste?

El Pick a Perro (de ahora en adelante usaré este, aunque el del cerdo es igual simplemente cambiando los perritos por cerditos) es un juego que se juega con una serie de cartas de un perro que puede variar en una serie de características.



El perro tiene 5 características que pueden variar:
- El color del perro (Negro o Carne)
- Palomitas (Si las tiene o no)
- El tamaño (Pequeño o Grande)
- Los Brazos (Se le ve uno o ambos)
- Las gafas (Lleva o no)

Estas son las únicas 5 características que hay y en cada caso son sólo esas 2 posibilidades las que hay.


Al comienzo del juego se reparte una carta a cada jugador la cual se pone bocabajo. Se colocan también una serie de cartas bocarriba delante de los jugadores.

Todos a la vez levantan su carta y su objetivo es coger una carta que sea exactamente igual que la que acabas de levantar o que sólo difiera en 1 característica. Digamos que la carta que tenías boca arriba era una carta A y has encontrado una B que satisface esto. Una vez has cogido B la colocas encima de A y repites el proceso montando una cadena de perros que difieren a lo sumo en una cosa.



En la imagen tenéis un par de ejemplo de posibles cadenas. Una vez crees (todo esto hay que hacerlo rápido por eso puedes no estar seguro) que no hay ninguna que difiera en a lo sumo 1 característica de tu última carta lo anuncias públicamente y cada jugador cuenta el número de cartas que ha cogido y el que ha parado la ronda se lleva una carta de bonificación. Caso de haber alguna que sí habría poder cogido pierde todas sus cartas.

Ahora se hace otra ronda cogiendo cada jugador una carta que pone bocabajo delante suya, colocando cartas en el centro. Así sucesivamente hasta que se termine toda la baraja y el jugador que más cartas haya recogido es el ganador😃




Unas cuantas preguntas matemáticas que me surgieron mientras jugábamos eran:

¿Cuántas cartas distintas ahí?
¿Sería posible que un mismo jugador consiguiera todas las cartas?
¿Cuál es el mayor número de cartas que podría haber sobre la mesa y que no pudiera coger ninguna?
¿Cuál es el mayor número de cartas que podría haber sobre la mesa y que todas se diferenciaran en 2 características o más, es decir, que no se podrían coger juntas?

La primera es bastante fácil, al haber 5 características distintas y 2 posibilidades en cada caso tendremos 2^5 = 32 posibles cartas. De hecho, si alguna vez jugáis al juego veréis que tiene 96 cartas, es decir 3 de cada tipo.


Vamos con la segunda, partiendo de tu carta, ¿es posible conseguir todas las de la mesa?

Vamos a usar algo que a los matemáticos nos encanta y son los grafos. Vamos a imaginar las cartas sobre la mesa junto a la tuya y dibujamos una línea entre dos cartas si y solo si solo difieren en 1 característica o son la misma.

Es decir, las cartas son los vértices del grafo y tenemos líneas entre aquellas cartas que difieren a lo sumo en 1 característica. Se trata ahora de empezando en nuestra carta y siguiendo las líneas de poder cogerlas todas.

Para entendernos mejor vamos a poner un ejemplo de todo esto, pero vamos a empezar a abstraernos del juego y tratarlo con otra notación.

Vamos a representar las cartas como una quintupla (5 números) que representarán cada una de las características del perro. Ya que en cada característica hay solo 2 posibilidades podemos representar esto con un 0 o 1.

Es decir, una posible carta será el (0,0,0,0,0) o el (0,1,0,1,0) y una vez representadas así dos cartas se pueden coger juntas, a lo cual nos referiremos en adelante a estar conectadas si y solo si solo cambian como mucho en una componente y en tal caso dibujamos una línea entre ellas.

Por ejemplo aquí nuestra carta sería el (0,0,0,0,0) y el resto de cartas son los otros puntos indicados. Hemos dibujado las líneas entre ellos según corresponde. La pregunta ahora es ¿Es posible pasar por todos los puntos una sola vez empezando desde nuestra carta moviéndonos por las líneas?

En nuestro caso es bastante fácil ver que no ya que el cuadrado del principio hará que si queremos pasar por todas las cartas de este no podamos ir al resto de cartas y si salimos del cuadrado ya no podemos volver :(

Lo que hemos hecho tiene un nombre y es ver si este grafo es Hamiltoniano, en este caso no. Un grafo se dice Hamiltoniano si se pueden recorrer todos sus vértices (puntos) sin repetir ninguno de ellos. En nuestro problema necesitamos algo más complicado pues necesitamos además que podamos empezar desde nuestra carta (punto).

Pues estamos jodidos, resulta que encontrar si un grafo es Hamitoniano y describir ese recorrido Hamiltoniano es NP difícil, esto quiere decir que no hay una manera eficiente computacionalmente de hallarlos. De hecho si encuentras una entonces te podrías llevar 10000000€. Más info sobre algunas condiciones necesarias y suficientes para que un grafo sea Hamiltoniano y lo que es un problema NP completo aquí: https://es.wikipedia.org/wiki/Camino_hamiltoniano

Bueno, vamos a ver si hay más suerte con las otras 2 preguntas. Si yo tengo una carta por ejemplo el (0,0,0,0,0) las únicas que puedo coger son o ella misma, o las otras 5 cartas que salen de cambiar una de las componentes (es decir, modificar una de las características).

Luego máximo podemos tener aparte de nuestra carta 32-5-1 = 26 luego 25 cartas aparte de la nuestra sin que podamos coger ninguna (Lo cual es casi imposible pero bueno). Además, como en la baraja hay 3 de cada carta realmente podríamos tener hasta 75 cartas aparte de la nuestra sin que podamos coger ninguna (En ese caso lloras simplemente)

Esto es increíblemente improbable, es mucho más fácil que te toque el euromillones.

Y vamos a la última pregunta; ¿Cuál es el número máximo de cartas distintas que podemos tener sin que haya 2 que difieran en 1 sola cosa?

Vamos a usar algo de teoría de códigos para ver que podemos poner al menos 16 cartas y luego vamos a ver que dicha solución es óptima.

Volvamos a la forma que teníamos antes de expresar las cartas como una quintupla de 1s y 0s.
Para definir lo que es un código necesitamos un alfabeto que en nuestro caso va a ser los 0s y 1s y un conjunto que es el espacio de una cierta dimensión de nuestro alfabeto, en nuestro caso será el de dimensión 5 al tener 5 componentes la forma en que describimos nuestras cartas. A los elementos de este conjunto les llamamos palabras. Nuestro conjunto son todas las posibles quintuplas de 0s e 1s y las palabras cada uno de estos elementos.

Un código no es más que un subconjunto de este conjunto que hemos definido, es decir, algunas de las palabras que están incluidas en nuestro conjunto (un subconjunto de nuestras 32 cartas; es decir, que cojamos algunas de las 32 cartas). Y ahora vamos a definir lo que se conoce como la Distancia de Hamming; pero antes, ¿Qué es una distancia en términos matemáticos?

Todos sabemos que del 1 al 3 hay 2 unidades y la distancia entre dos número reales, pero cuando estamos en otros conjuntos la cosa es más complicada, realmente en mates una distancia es simplemente una función que dados 2 elementos (x,y digamos) de un conjunto les asigna un número (distancia) cumpliendo las siguientes cosas lógicas para elementos cualesquiera x,y e z:

d(x,x) = 0 (Tu estás pegado a ti mismo)
d (x,y) = d(y,x) (No puede ser más distancia la ida que la vuelta)
d(x,z) ha de ser menor o igual que d(x,y) + d(y,z) (Si entre 2 puntos quiero pasar por un tercero no puede ser que ahora tarde menos)

Todo esto es muy lógico, ahora tenemos que pensar una distancia para nuestro conjunto (las cartas, es decir las quintuplas de 0s e 1s) que cumpla esto. Lo más lógico y que nos sirve es que la distancia entre dos quintuplas es el número de componentes distintas.

Para que nos entendamos, el número de cosas del perro que cambian de una carta a otra

Una vez ya tenemos la distancia hay un concepto muy importante en teoría de códigos que es la distancia mínima. Esto nos da una idea de dados los elementos de un código como de separados están los elementos. La distancia mínima es el mínimo de las distancias entre los elementos de nuestro código.

Por ejemplo digamos que nuestro código es el (0,0,1,1,0), (0,1,1,0,0), (0,0,0,0,1), (0,1,0,0,0) en este caso la distancia mínima es 2. Es bueno que la distancia mínima no sea muy baja ya que normalmente lo que queremos con estos elementos del código que se llaman palabras es transmitirlas a otra persona y se pueden producir errores. Si por ejemplo no hay 2 palabras a distancia 1 podremos cometer un error y no se confundirá con otra palabra, simplemente sabremos que lo que nos ha llegado está mal.

¿Y qué tiene que ver esto con nuestro problema? Pues simplemente se trata de ver cuantos elementos tiene el mayor subconjunto de elementos de nuestro conjunto de palabras tal que la distancia mínima sea 2 ya que entonces no tendremos 2 palabras a distancia 1 que son las cartas que están relacionadas al solo diferenciarse en una característica. Es decir, el mayor código dentro de

Vamos para ello a hacer algo análogo a lo que se hace en el DNI para detectar errores; aquí, lo que se hace es que dados los números del DNI la letra se calcula según el resto del número al dividirlo entre 23. Como 23 es primo y se puede razonar si cambias cualquiera de los dígitos de tu DNI cambiará también la letra. Con lo cual no existen 2 DNIs a distancia 1 y la distancia mínima es (al menos) 2; esto sirve para detectar si te has equivocado al escribir tu DNI.

Pues el mismo razonamiento vamos a aplicar aquí; vamos a coger como primeros 4 elementos de la quintupla los que nos de la gana y el quinto va a ser el resto de la suma de estos al dividirlo entre 2, o para que sea más fácil 0 si hay un número par de 1s y 1 si hay un número impar.

Al igual que con el DNI si cambiamos alguno de las componentes nos cambia la última luego tenemos un código con distancia mínima 2 y por tanto no habrá ninguna 2 cartas que difieran en solo 1 características. Hemos conseguido ya que las primeras 4 componentes son libres colocar por tanto tenemos 2^4 = 16 cartas distintas de las que no hay ninguna pareja que difiera en solo 1 característica.

Ya hemos visto que podemos poner 16 cartas de forma que se satisfaga lo que queremos. Pero, ¿Es 16 el máximo? Vamos a ver que sí

Vamos ahora con nuestra notación de quintuplas para las cartas y vamos a colorearlas todas (Ahora estamos trabajando con todas las posibles cartas). A cada quintupla (carta) le vamos a asignar un color de forma que si dos cartas están a distancia 1 (difieren en 1 sola característica) entonces han de tener colores distintos.

Digamos que la carta (0,0,0,0,0) es roja, entonces todas las cartas que están a distancia 1 (las 5 con un 1 en alguna componente y 0 en el resto) han de ser de otro color, digamos verde. Razonando análogamente las quintuplas con 2 1s podrán volver a ser de color rojo (están a distancia 2 del (0,0,0,0,0) luego no hay problema) las de 3 1s pueden ser verdes y así hemos coloreado todas las cartas según el número de 1s usando solo 2 colores (esto se conoce como que el grafo es bipartito).

Si ahora queremos coger un código tal que la distancia mínima sea 2 todos las palabras del código habrán de tener el mismo color pues si no tendríamos 2 que estuvieran a distancia 1. Y hay la misma cantidad de palabras rojas que verdes ya que por cada palabra roja obtenemos una verde simplemente cambiando los 0s por 1s y viceveresa (Como el número de componentes es impar uno tendrá un numero par de 1s y otro un número impar)

Por tanto hay 16 palabras rojas y 16 verdes luego el máximo conjunto que podemos coger es el que indicamos arriba y hemos resuelto nuestro problema😊

El razonamiento que hemos usado sirve para cualquier número impar de componentes, es decir, si tenemos un juego en el que los perros tuvieran k con k impar características el número máximo de cartas que podríamos poner sería 2^(k-1)

En el caso par también se tiene aunque para probarlo tendríamos que hacerlo de otra forma, primero viendo que se puede colorear también con 2 colores que sería igual y luego en este caso no nos valdría lo de cambiar los 1s por 0s y viceversa pero podríamos considerar para cada carta la que resulta de cambiarle la primera componente la cual es de otro color (de hecho, este argumento nos hubiera valido también antes)  y tendríamos que hay la misma cantidad de cartas rojas que verdes de nuevo y que el máximo de cartas que podamos colocar sin que ninguna pareja se pueda coger siguiendo las reglas del juego sería 2^(k-1)

¡Muchísimas gracias por haber llegado hasta aquí y espero que os haya gustado!

Honestamente, es la primera vez que hago un artículo de este calibre (que en verdad no es mucho pero bueno) y pido disculpas por los fallos y si hay cosas que no se entiendan (preguntad lo que haga falta en comentarios o a culturamates@gmail.com)

Creo que hemos visto que hay matemáticas en todos lados, incluyendo este juego de mesa. Tristemente esto no nos ayudará a ganar pero bueno, no se puede tener todo en esta vida.

Fin de las actividades por este curso

¡Se avecinan duras tormentas, los exámenes ya llegan!

Aunque puede parecer que vivimos en Cultura y algunos nunca estudiamos los exámenes también nos afectan. Es por ello que cortamos ya hasta el próximo curso las actividades de Go y Rol (si surgiera alguna partida de última hora avisaríamos)

Muchísimas gracias a tod@s los que os habéis pasado por alguna de nuestras actividades que no habéis sido pocos :)

Por supuesto, el aula seguirá abierta los días que abre la facultad siempre que haya alguien allí y seguís pudiendo utilizar el servicio de préstamos o venir para jugar o charlar y relajaros un rato.

¡Mucha suerte a tod@s en lo que queda de curso!

Códigos de votaciones Cauchynillos 2019

Aquí tenéis los códigos para las votaciones, que ganen los mejores:

Bloque A: bit.ly/2VcP32Q
Premios Frontera, Binario y Problemas del Milenio

Bloque B: bit.ly/2IMVfYJ
Premios Fermat, Eureka y Coeficiente de Fisher

Bloque C: bit.ly/2GA4xFK
Premios Turing y Análogo

Bloque D: bit.ly/2IAmC9b
Premios Euler, Galois e Ínfimo

Bloque E: bit.ly/2IUbgMi
Premios Insesgado, (x,y), 2+2=4

Final: bit.ly/2GrcYlH

¡Qué disfrutéis de la gala!

Leyendo en matemáticas (4ª parte)

Buenas tarde chicos.

Llegó al fin el día del libro y con este el último vídeo de nuestra actividad "Leyendo en matemáticas".

Como un pequeño plus, os dejamos aquí algunas respuestas de otros profesores que no han podido participar en los vídeos:

Profesor 1:

1. He leído recientemente “La Fundación” de Isaac Asimov; y “La Florida del Inca”, escrito por el Inca Garcilaso de la Vega, de 1632. Estoy leyendo ahora un libro cuya fecha de publicación 1609 me supone dudas, se trata de “Los comentarios reales”, también del Inca Garcilaso de la Vega, que sé que es un libro posterior al primero, por eso no doy credibilidad a la fecha, pero no es tan bueno como "La Florida del Inca".
2. Lectura variada, desde ciencia ficción (porque muestra muchas veces universos factibles) o la asociada a literatura histórica, porque desvela cómo ocurrieron hechos pasados y tiene utilidad para comprender el comportamiento humano; lectura científica, mezcla de trabajo y gusto por ello (aquí se puede incluir historia de las matemáticas); poesía (porque permite desconectar del trabajo, y a veces el tiempo es muy limitado para lecturas más profundas); cuentos breves (por la misma premura de tiempo, y porque hay obras realmente ocurrentes como textos de Jorge Luis Borges); novela (sólo ocasionalmente porque requiere más tiempo) y la razón para esto último es puro divertimento; monografías artísticas museos (pintura, escultura y arquitectura) por afición también.
3. Como valoración personal (esto es subjetivo), actualmente recomendaría lecturas de ajedrecistas (p.ej. Raul Capablanca, o Bobby Fisher), libros de historia del cine (Javier Marías o Garci especialmente), Miguel Hernández, García Lorca, Antonio Machado, Jorge Luis Borges, y aunque varíe como las modas, Gabriel García Márquez. Y si tienes muchas ganas de matemáticas, recomendaría el Ecuaciones diferenciales de Simmons, el Quelques methodes de J.L.Lions, “Cartas a una joven matemática" de Ian Stewart en plan “cómo es el trabajo de un matemático en el mundo universitario”.

Profesor 2: Algunas recomendaciones que nos ha dejado son:

1. Esencia https://www.amazon.es/Esencia-ebook/dp/B00FB5EGWM
2. Artífices del Tiempo https://www.amazon.es/Art%C3%ADfices-Tiempo-Miguel-Guti%C3%A9rrez-Naranjo-ebook/dp/B017Y39X08

Ambas mezclan la intriga con la divulgación científica y creo que podrían ser muy apropiadas para los alumnos de la Facultad.

Profesor 3:

1. Qué es lo último que habéis leído o estáis leyendo? Último libro Yo, Julia de Santiago Posteguillo.  Ahora estoy leyendo Pretérito Imperfecto de Nieves Concostrina.
2. ¿Qué tipo de libros os suele gustar más? ¿Por qué? Sobre todo novela histórica, siempre me ha gustado mucho la historia y es una manera de unir dos aficciones lectura e historia. Tambien me gusta la fantasía heroica, como el Nombre del viento, saga de Canción de Hielo y fuego.
3. ¿Qué lecturas recomendaríais a vuestros estudiantes? Cualquiera, lo impotante es leer. Algunas de mis  lecturas preferidas han sido: Patria de Aramburu, Dispara yo ya estoy muerto de Julia Navarro,  El nombre del viento y el Temor de un hombre sabio de Patrick Rothfuss, el Juego de Ender de Orson Scott Card,...y muchos más, os llenaría páginas de títulos,  pero solo recomiendo que lean lo que más les enganche pero que no lo dejen.

Leyendo en matemáticas (3ª parte)

Ya está aquí el tercervídeo de esta actividad, ¿Ansiosos por saber qué nos recomendarán nuestros profesores hoy? El último se publicará el próximo 23/04/19 coincidiendo con el día del libro.

Leyendo en matemáticas (2ª parte)

Llega el segundo vídeo de esta actividad, ¿Qué nos recomendarán nuestros profesores hoy? Los demás se irán publicando de forma semanal a lo largo de este mes.

Leyendo en matemáticas (1ª parte)

Desde el Aula de Cultura de la Facultad de Matemáticas, con motivo de la celebración del día del libro el próximo 23 de abril, hemos decidido preguntar a los profesores de la facultad acerca de cuáles son sus hábitos de lectura y que libros nos recomendarían.

Este es el primer vídeo de esta actividad, los demás se irán publicando de forma semanal a lo largo de este mes.

¿Qué mas libros no recomendarán nuestros profesores? Lo descubriréis en las próximas semanas.

Nominados Cauchynillos 2019

Ya tenemos los nominados de este año a los premios Cauchynillos. Los nominados tenéis que entregar los vídeos de aquí al 5/4 (Si no pudieráis tenerlo para esta fecha avisadnos y vemos si se puede ampliar) .Desde el Aula de Cultura estamos encantados de ayudaros para las grabaciones, nos podéis contactar en culturamates@gmail.com, nuestras redes, pasando por el aula o en el teléfono 954557923 .


Podéis ver más sobre los Cauchys aquí: Web Cauchys


Vídeos de nominación de otros años para ir abriendo boca para la gala e inspiraros para vuestros vídeos:  Canal youtube Cultura



NOMINADOS PREMIOS CAUCHYNILLOS 2019:

2+2: Al mejor profesor

• Narváez
• Tornero
• Langa 

(x,y): A la mejor pareja

• Tornero y Meneses (Torneses)
• Tau y Alejandro Lobato (Taule)
• Daniel José Moreno y Cintia Ojeda
• Cristóbal Gallardo y Gema Chamizo 

Fermat: Al más fantasma

• Pablo Lorite
• Antonio Beato Jr.
• Jaime Turón

Eureka: Al que después de mucho tiempo aprobó

• Juan Antonio Carrasco
• Lucía Trujillo 
• Minilik

Ínfimo: Al más bajonas

• Verónica Garrido
• Sabrina Fortes
• Jesús Castillo Villarrubia
• Ana Ruiz López

Euler: Al más ansias

• Lourdes Linares
• José Galvez 
• Xopre 
• José Florido 

Fisher: Al que más cañas tira

• Pablo Lorite
• Cristóbal Gallardo
• José Gálvez 

Turing. Al más máquina

• Bernardo Arcos 
• Jesús Baena   
• Nuria Gómez Vargas

Galois: Vive rápido muere joven

• Ana Martín Prieto  
• Javier Huerta Pajuelo 
• Gema Chamizo 
• Paula Gómez 

Insesgado: Al compañero más estimado

• Alfonso Márquez
• Verónica Garrido 
• Cintia Ojeda 
• Anaïs Fernández 
• Lucía Martínez 

Análogo: Al que menos hace

• José Antonio Rodríguez Díaz 
• Raúl Sánchez
• Álvaro Sanz
• Antonio Trujillo 
• Pere (Javier Pérez Manzano) 

Frontera: Al más borde

• Rodrigo Pallares 
• Carmen García 
• Pepa Lorenzo 
• Ángela Arias 
• Manuel Sánchez Caballero

Binario: Al más friki

• Rodrigo Pallares Palencia
• Fran Vilches
• Alejandro Lobato Cantos 
• Luis Proenza Morgado

Problemas del Milenio: Al examen irresoluble

• EPE
• Lineal I
• Facenda

Muchísima suerte a tod@s los nominados y nos vemos en la gala el día 24 de Abril a las 11:15 en el salón de Actos donde se mostrarán los vídeos y se votará quien es el mejor y se lleva el premio :)

Cauchynillos 2019

Llega el día más importante del año, comienzan las votaciones a los Cauchynillos 2019. Hazte ya con tus cerditos. Vota a tus favoritos en cultura.

Qué son los Cauchys? 

Los cauchys son los premios que se reparten en la facultad de matemáticas cada año elegidos por votación. El día de la gala además de entregar los premios se realiza un teatro colaborativo entre alumnos y profesores. Los premios tienen una gran tangenical humorística como el Eureka al que después de mucho tiempo aprobó o el análogo al que menos hace.

Los premios tienen una gran tangencial humorística, aquí tenéis la lista de premios de este año como prueba:

- 2+2: Al profesor que mejor explica
- (x,y): A la mejor pareja
- Fermat: Al más fantasma
- Eureka: Al que después de mucho tiempo aprobó
- Coeficiente de Fischer: Al que tira más cañas
- Galois: Vive rápido, muere joven
- Turing: Al más máquina
- Insesgado: Al compañero más estimado
- Ínfimo: Al más bajonas
- Euler: Al más ansias
- Análogo: Al que menos hace
- Frontera: Al más borde
- Binario: Al más friki

¡Y puede que haya algún premio sorpresa que descubriréis en la gala!


Es un día en el que toda nuestra facultad se une para pasarlo en grande y la distancia profesor alumno se vuelve más corta esos días. (VIVAN TORNERO Y MENESES PARA SIEMPRE). Estos premios tienen ya más de 25 años de historia en nuestra facultad y es una tradición que esperamos dure mucho más.

Podéis votar quien creeís que se merece cada premio en Cultura hasta el 15 de marzo, los 3 más votados en cada categoría tendrán que hacer un vídeo de nominación (si os lo curráis mejor para intentar ganar) y se pondrán los vídeos en la gala y se votará quien es el ganador :)

Tenéis vídeos de nominaciones de otros años aquí para ir haciendo boca: https://www.youtube.com/channel/UCPRMxGx8D_-3E1I9WTHW-9Q

Fotos y más info de los Cauchys:

http://institucional.us.es/culturafm/actividades/cauchynillos/

Es un evento único que aunque os podemos intentar contar la mejor forma de verlo es vivirlo y participar en todo el proceso😎

Elecciones y el Teorema de Arrow

Supongo que estáis al tanto de las elecciones andaluzas que se acercan. Pero aunque el tema de hoy va a estar relacionado con las elecciones no hablaremos de estas en particular si no como buenos matemáticos trataremos temas de elecciones en general.

¿Por qué solo votamos a la persona que más queremos?
¿No sería quizá más lógico ordenar a los distintos candidatos?

Supongamos por un momento, que tenemos una cantidad arbitraria n de candidatos a un puesto de gobierno. Si n=1 y n=2 es trivial ordenar cual se prefiere en general sin importar el número de votantes, (Aquí vamos a abstenernos de hablar del reparto de escaños y similar, solo quien gana las elecciones)

Pero si ya tenemos 3 candidatos a lo mejor nos interesa no solo saber quien es más querido entre las masas, si no también quien lo es menos y a lo mejor no nos vale con que solo vote cada persona a su candidato preferido. Digamos que ordenan su preferencia de candidatos (1ero el que más quieren, 3ro el que menos) y sale lo siguiente entre 1000 votantes

      1ºPos    2ºPos     3ºPos
A    480       0            520  
B    210      790         0      
C    290        0           710  

Aquí por ejemplo con el modelo tradicional saldría A en primera posición, C en segunda y B en tercera. Pero por ejemplo aquí se pierde la gran cantidad de gente que aunque no es B su favorito lo prefiere antes de C. ¿Debería ser entonces ser el orden A,C,B?

Pero incluso podríamos argumentar que en conjunto B es más querido que A pues 520 personas prefieren a B antes que a A lo cual es mayoría. ¿Debería ser el orden B,C,A?

Como veis es una tarea nada sencilla. Pero vamos a tratar de seguir adelante con este modelo en el que se ordenan los distintos candidatos, vamos a establecer unas reglas básicas de en función de las votaciones como tendrían que salir los resultados y a ver a que llegamos😃

- Dada las ordenaciones de preferencia de los n candidatos de digamos m votantes, hemos de ser capaces de ordenar a los distintos candidatos. (No estamos diciendo acorde a que reglas solo que dada m n-uplas (las ordenaciones de candidatos de cada votante) hemos de poder sacar una n-upla (la preferencia conjunta de los votantes))

- Debe ser un sistema determinístico; es decir, no puede haber ningún tipo de factor aleatorio. Si repetimos la votación y por ejemplo los votantes vienen en otro orden no puede afectar, ni se puede decir pues tomamos lo que vote la persona número 400.

- Si todos los individuos prefieren digamos al candidato A con respecto a B (es decir, todos han puesto mejor a A que a B al ordenar a los n candidatos) entonces eso se tiene que ver reflejado en los resultados, es decir, ha de aparecer A por delante de B. (Nota: Esto se denomina Eficiencia de Pareto)

Por ahora todas estas condiciones parecen muy lógicas y no aparece nada extraño. De hecho parece que incluso deberíamos pedir que alguna de las condiciones fueran más fuertes pues imaginemos 1 millón de votantes, si todos menos 1 prefieren a A que a B ¿No deberíamos exigir también que saliera A?

Pues ni siquiera vamos a pedir esto, dado que estas son las hipótesis del teorema de Arrow que nos dice:

Teorema de Arrow (Versión informal): Dadas las condiciones anteriores, la única forma de que en general dada cualquier votación de los m votantes podamos ordenar los n candidatos (notemos que el n no es fijo pues según las elecciones variará) es que $m=1$

Es decir, que se de el caso de la dictadura. Es evidente que si solo vota 1 persona se puede realizar el proceso pero es increíble que solo pidiendo esto haya elecciones en las que no se pueda satisfacer a menos que solo se tenga en cuenta el voto de una persona.😱

En muchas ocasiones el Teorema se conoce como el teorema de imposibilidad de Arrow y se enuncia de forma que sea hipótesis que el resultado de la votación no puede depender de una única persona para que el resultado sea que no es posible.

El nombre del teorema proviene de Kenneth Arrow que era un economista estadounidense, para os hagáis a la idea de lo reciente que es todo esto (al menos para el campo de las matemáticas y la teoría de decisiones) Kenneth Arrow murió en febrero de 2017.

La demostración de este resultado es compleja; de hecho, la versión presentada aquí es una más fuerte que se demostró en 1963 (antes se exigían más condiciones)

Os dejo este Vídeo explicativo (El vídeo explica la versión débil) en inglés que ilustra de maravilla lo que os he contado y también para lo más ansias un paper con la prueba:
Esquema de la prueba y prueba para n=3

Ya tenéis algo que contar cuando estéis esperando para votar el 2D o si queréis que os odie el de la mesa electoral de turno

Espero que os haya gustado la entrada😉, disculpad que no haya habido en los últimos dos meses pero andamos liados.

¿Tienes algo que quieras publicar aquí que te guste relacionado con las matemáticas? Mándalo a culturamates@gmail.com, veremos si es posible y te daremos crédito en la entrada; ampliemos el blog entre tod@s.

Como diría Clara Grima, ¡Que las matemáticas os acompañen!

II Semana Cultural de la Facultad de Matemáticas (15 al 19 Octubre, abierta a toda la comunidad universitaria)

Estamos encantados de anunciar que llega la 2ª semana Cultural de la facultad de Matemáticas, abierta a toda la comunidad universitaria (da igual que no seas de la facu de mates) con un sinfin de actividades como Rol, Partidos Alumnos-Profesores, Trivia, un concurso de talentos, charlas y mucho más, un evento que no te puedes perder de ninguna de las maneras :) 


Habrá muchos premios para los ganadores gracias a la financiación por los presupuestos participativos del CADUS y regalitos para los asistentes así que más os vale pasaros 😉

Os dejamos el horario y después por días una descripción detallada de todas las actividades. Algunas requieren inscripción y en otras es recomendable. (Más abajo todos los detalles de las actividades)

Salvo que se indique lo contrario las actividades son en los respectivos espacios en la Facultad de Matemáticas (Entre C/Tarfia y C/Reina Mercedes)

Cualquier duda consultadnos en culturamates@gmail.com, @culturamates en fb y twitter o para un contacto más directo: @Alf1729 en Telegram

Podéis participar en todas las actividades aunque no hayáis hecho algo similar antes (así probáis videojuegos, deportes, nuevos hobbies y seguro que os divertís un montón que al final es lo más imprtante)

 Inscripciones a las actividades 

(*): Requiere inscripción previa
(**): Recomendable inscripción previa aunque puedes aparecer en el momento (Tienen prioridad los inscritos caso de menos plazas que asistentes).



Los horarios están hechos de forma que no se solapen las actividades salvo Go y Teatro que coinciden con la batalla, así que te puedes apuntar a casi todas y os animamos a apuntaros a muchas para aprovechar de verdad la semana (Los 3 torneos de videojuegos por parejas son simultáneos), os dejamos el horario con los detalles de cada actividad por días.

Toda la semana

Yincana (Por toda la facultad): Escondidas por toda la facultad durante la semana Cultural habrá una serie de frases de matemáticos que tenéis que hallar y descubrir de quienes son. Quien mande más frases con sus respectivos autores a culturamates@gmail.com hasta el Viernes 19 de Octubre a las 23:59 será el ganador de la Yincana y por consiguiente del premio que esta esconde (Las pistas no estarán escondidas en despachos de profesores rogamos no molestéis a estos).

Lunes 15

11:00 (Comedor): Charla informal sobre La Geometría Proyectiva en el Arte Renacentista por Javier Huertas, las matemáticas están presentes en todos los lugares aunque a veces no podamos ver sus aplicaciones de forma directa.

16:00: (Salón de actos): Concurso de talentos: Saca tus habilidades a escenario, ¿tocas algún instrumento? ¿Tienes una gran voz? ¿Te sabes toda la tabla periódica de grupos finitos? Todo tiene cabida en este bizarro concurso (*) Inscríbete ya para poder participar y ser el ganador. En la pasada edición tuvimos desde un speedrun del buscaminas, memorización de banderas pasando por una exhibición de Diábolo, anímate y participa. Para venir de público no es necesaria inscripción y ayudarás a determinar quien se hará con la victoria. (*)

17:30: Torneos de Videojuegos por parejas (Comedor): Busca a un compañer@ y compite en uno o varios de los siguientes videojuegos (Se jugarán simultáneamente, puedes participar en varios) (**)

- Duck Game (El juego de los patos): Si no has probado este juego tradición de Cultura seguro te encantará, luchas 2 contra 2 que están garantizadas a provocar más de una carcajada

- The Binding of Isaac: Rebirth: Jugaréis juntos a una mano cada uno y desde luego puede ser gracioso el caos que genere o demostrar que sois la leche.

- Keep Talking and Nobody Explodes: Uno es capaz de ver un manual de como desactivar bombas mientras que el otro es el que tiene que desactivarla, la cooperación y capacidad de comunicarse de los jugadores son clave en este juego.

Os animamos a apuntaros aunque no tengáis ni idea y así descubrís nuevos juegos y pasáis un buen rato😊 (No tenéis que traer nada más allá de ganas para los Torneos)

Inscripciones

Martes 16

11:00: Charla informativa de Movilidad ERASMUS/SICUE (Salón de Actos) por el vicedecano de estudiantes Jesús Soto.

16:00: Trivial Alumnos Profesores (Salón de Actos Mates): Compite a ver quien sabe más preguntas de conocimiento general y demuestra que un alumno puede saber más que un profesor (o muere en el intento) busca equipos de hasta 3 personas para participar. Serán preguntas de todo tipo y seguro que será interesante. (**)

17:30: (Rol a todos los niveles en el comedor): Partidas de este juego que a tantos mueve, tanto si eres un experto en hacer pifias como si nunca has jugado a Rol eres bienvenido, disfruta de increíbles partidas organizadas por los miembros del aula que seguro te encantarán. (Puedes ser asesinado rápidamente pero eso es parte de la diversión) (**)

21:00: Básket Alumnos-Profesores (SADUS Pirotecnia) Una batalla épica de la que puede salir un equipo ganador, dejemos por un día lo académico y disfrutemos juntos de una noche deportiva, una oportunidad única que no puedes dejar escapar. (*)

Inscripciones
(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Miércoles 17

11:00: Charla José María Tornero (Salón de Actos): ``Como liarla sin salirse de los Naturales`` Estamos seguros de que Tornero no nos dejará indiferente con su genial charla de la que salimos fascinados :)

11:50 :(Hora Aproximada, tras la Charla de Tornero, Salón de Actos): Charla del colectivo LGTB+ de Reina Pedro Zerolo: ``Cómo NO salir del armario`` Nosotros estamos deseando ver que nos cuentan que
seguro que es importante e interesante.

16:00: Torneo de Póker (Aula de Cultura Mates): Ven con ganas de jugar al Póker (Da igual si no has jugado antes) y intenta hacerte con todas las fichas, un clásico entre los juegos de apuestas (Sin apostar dinero evidentemente, la esperanza de la variable aleatoria participar en el torneo es positiva pues no perdéis nada y podéis ganar algún premio) (**)

17:30: Club de Lectura (Comedor): Apasiónate por la lectura y debate sobre los mejores libros viniendo al club de lectura, siempre en la mejor compañía. (**)

18:30: Juegos de mesa a raudales (Comedor): Tendréis todos los juegos de mesa de los que disponemos en Cultura y más a vuestra disposición para que probéis nuevos juegos y compitáis entre vosotros, trae a tus amigos y conoce nuevos juegos que seguro que os encantarán. (**)

21:00: Fútbol 7 Alumnos Profesores (SADUS Bermejales): El acontecimiento deportivo de la temporada. Un reto histórico. Lo nunca visto. En enfrentamiento en la cumbre. Disfrutad de esta oportunidad única de batallar con profesores/alumnos y pasar un gran día. (*)

Inscripciones

(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Jueves 18

11:00: Experiencias ERASMUS/SICUE: Varios (ex)alumnos nos contarán sus experiencias al haberse ido de ERASMUS o SICUE, además podrás hacerle todas las preguntas que quieras sobre como es hacer un año fuera para ayudarte a decidir si quieres vivir la experiencia.

16:00: Taller de Programación (Lab 6 Módulo H Informática): No tienes ni papa de como programar, no te preocupes, empieza desde cero en este curso y vete metiendo en el mundillo (es un taller semanal y luego podrás seguir aprendiendo más), java y mucho más al alcance de tu mano. (**)

17:30: (Rol a todos los niveles en el comedor): Partidas de este juego que a tantos mueve, tanto si eres un experto en hacer pifias como si nunca has jugado a Rol eres bienvenido, disfruta de increíbles partidas organizadas por los miembros del aula que seguro te encantarán. (Puedes ser asesinado rápidamente pero eso es parte de la diversión) (**)

Inscripciones
(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Viernes 19

11:00: Charla informal: ``Los límites del humor`` (Comedor)   Antonio Beato (Junior) nos enseñará hasta que punto se puede jugar con el humor, un tema que a veces puede ser muy delicado, seguro que entre todos llegamos a una interesante conclusión.

15:30: Club de Go(Césped del Campus, entre mates, física, química y bio): Aprende a jugar a este juego en el que aun no ha conseguido ganar el ordenador al humano, aprende desde cero con los compañeros del club que lo dominan y estarán encantados de explicarte como funciona Go, o practica y mejora hasta hacerte un campeón si ya tienes experiencia. Nunca es tarde para aprender un nuevo juego (**)

16:00: Batalla Matemática (Aula 03):Una épica batalla: Dos equipos se enfrentan a duelo en una serie de problemas que se presentarán durante la tarde y que luego tendrán que exponer su solución (Los problemas estarán diseñados de forma que no se tenga ventaja por ser de cursos superiores) ¿Qué equipo se alzará con la victoria? Una batalla matemática es una competición en la que cuenta tanto la inteligencia como la estrategia durante la misma, os dejamos las reglas: Reglas Batalla (*)
La emoción de una batalla matemática es algo que solo se puede vivir participando y seguro que disfrutáis luchando :)

17:00: Club de Teatro (Aula 06): Introdúcete en las artes escénicas en este club, ven y aprende de improvisación, técnicas de locución, y lo más importante pasar un rato divertido en el que perder algo de vergüenza (Este club se realiza semanalmente y se puede seguir tras el mismo), un gran plan que no te puedes perder. (**)

Nota: Go y Teatro coincidirán con la batalla que se extenderá de 4 a 8 aproximadamente, si quieres venir de público a presenciar la batalla puedes venir a las 6 (No es necesaria inscripción). (El resto de actividades de la semana no se solapan y te puedes apuntar a todas :)

Como veis tenemos una barbaridad de actividades, ¿Qué hacéis que no os estáis inscribiendo a todas ya? Inscripciones

(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Esperamos que la semana Cultural sea un éxito y disfrutéis de las actividades con la misma ilusión con las que nosotr@s las hemos estado preparando, recuerda que puedes reenviarle toda la info a todos tus amig@s para que vengan también (sin importar de que facu sean)😏

Cargados de actividades para este curso

Buenas chicos, es cierto que últimamente no ha habido muchas entradas de actividades al estar de vacaciones, pero eso cambia hoy donde anunciamos las actividades que empezamos esta primera semana de Octubre y algunas vienen para quedarse :)

Todas las actividades están abiertas a toda la comunidad universitaria, eso significa que puedes invitar a tus amigos sin importar de que facu sean para que vengáis en piña (asumiendo la hipótesis de que tenéis amigos)

Club de Rol: Muchos nos lo pedistéis y ha llegado para quedarse, este martes a las 16:00 en el comedor primera reu informativa del club y jugaremos algunas partidas. ¿Cómo que no vas a ir porque nunca has jugado? Esta es tu oportunidad de aprender, no te preocupes en absoluto de que seas un novato en el mundillo, seguro que lo pasas genial. Puedes venir a una sesión sin compromiso alguno :)

¿Eres de los que se beben los libros? ¿O quieres empezar a leer un poquito más? En cualquiera de los dos casos eres bienvenido, habla sobre libros en el mejor ambiente y compañía y debate sobre lo mierda  geniales que son, un lugar donde todas las opiniones tienen cabida y esperamos que este nuevo taller tenga éxito :)
Los miércoles a las 17:30 en el comedor

Nuestro clásico taller de Go vuelve con más ganas que nunca, da igual que no sepas lo que es el Go o seas un absoluto experto (bueno, si eres el mejor de España si puede que no te aprendas nada) seguro que algo aprendes y descubres este juego en el que aun el ordenador no ha sido capaz de ganar a la mente humana. Todos los viernes a las 15:30 en la sala de estudios

Por último vuelve el taller de teatro, abierto a todos los niveles aunque no buscamos ni mucho menos gente que sepa mucho, cualquier persona con ganas es bienvenida y entre todos haremos improvisaciones, juegos y a ver si conseguimos montar una obra, todos los viernes a las 17:00 en el aula 06, puedes inscribirte mandando un correo Aquí si sabes que vas a venir a menudo, o probar un día y ya decidir :)



No tengáis miedo de ir a una actividad porque no sepáis sobre ello, cualquiera es bienvenido a aprender y ante todo se buscará el buen ambiente entre los participantes :), todo esto es para pasarlo bien, conocer gente y aprender en el proceso. Recordad que la uni es más que solo estudiar y esta es una de las cosas buenas de la misma.

Como podéis ver venimos con muchas cositas, esperamos veros en nuestros distintos talleres y que nos ayudéis a que tengan éxito compartiéndolos con vuestros compañeros para que lleguen a todo el mundo 😉 (incluso a los fisicuchos, (en el fondo del fondo les queremos))

Para cualquier duda sobre las actividades os atendemos en el aula de Cultura en el fondo del pasillo o nos podéis preguntar por Correo o dejarnos un mensaje en Twitter o Facebook

Primos de Mersenne y Números Perfectos

Hola Culturetas, hoy vamos a ver la fuerte relación que hay entre estos dos grupos de números que aparentemente no tienen nada que ver, vamos a conocer a nuestros protagonistas:

- Números perfectos: Son aquellos naturales tal que la suma de sus divisores propios (sus divisores salvo el propio número) te da el propio número. Por ejemplo $$6 = 1+2+3 \hspace{2cm} 28= 1+2+4+7+14$$ Estos son los dos primeros números perfectos y son bastante escasos. Destaca esta frase de Descartes: "Los números perfectos, al igual que los hombres perfectos son muy escasos"

- Primos de Mersenne: Son los números primos de la forma $2^n-1$. Deben su nombre al matemático Marin Mersenne que abarcó campos tan variados como la teología, las matemáticas y la teoría musical. Vivió del 1588 al 1648.

 No se sabe a día de hoy si hay infinitos primos de Mersenne, n si hay infinitos números perfectos. Como curiosidad todos los números perfectos que se conocen son pares, a día de hoy no se ha encontrado ningún número perfecto impar, ni se ha demostrado que no haya ninguno.

Ya sabes otra cosa qué demostrar si quieres ser medianamente famoso😉 aunque te recomendamos que te centres en las demostraciones de la carrera, que en comparación con estas cosas no son tan difíciles.

Pues existe una biyección entre los números primos de Mersenne y los números perfectos pares, por ello ahora conocemos tantos números perfectos como primos de Mersenne y cada vez que se encuentra un nuevo primo y toda la comunidad matemática lo celebra (o al menos el que suscribe) descubrimos un nuevo número perfecto. (Los números primos que se buscan son primos de Mersene más info aquí)

Y lo mejor de todo es que se puede demostrar de forma relativamente sencilla para que todos podamos estar seguros de que este resultado es cierto.

La aplicación que vamos a probar que es una biyección es que si $2^n -1$ es un primo de Mersenne entonces $2^{n-1} (2^n -1)$ es un número perfecto.

La implicación $\fbox{$\Longrightarrow$}$ fue probada por Euclides hace más de 2300 años mientras que la otra implicación fue hecha por Euler (si es que era un ansias el pobre como todos sabemos).

$\fbox{$\Longrightarrow$}$

Supongamos $2^n -1$ primo de Mersenne. Queremos probar que $2^{n-1} (2^n - 1)$ es un número perfecto.

Los divisores de este producto serán $2,2^2,...,2^{n-1}$ (pues dividen al primer factor),  $(2^n -1)$, pues es el segundo factor, y el producto de las potencias de 2 que descomponen el primer factor con $(2^n-1)$. No hay otros divisores pues $(2^n-1)$ es primo por hipótesis y no tiene más divisores.

Luego la suma será $$2+2^2+...+2^{n-1} + 2(2^n-1) +2^2(2^n-1)+2^3(2^n-1)+...2^{n-2} (2^n-1)$$

$$= (2^n-1) + (2^{n-1}-1)(2^n-1)$$

Nota: El primer sumando es la suma de las potencias de $2, 2+2^2+...2^k = 2^{k+1}-1$

El segundo sumando sale de aplicar esto mismo sacando $(2^n-1)$ de factor común de la suma y tenemos lo que queríamos demostrar (si no ves este paso saca factor común $(2^n -1)$ y sale fácil.

$\fbox{$\Longleftarrow$}$

Vamos a para simplificar la notación denotar por $\sigma (a)$ la suma de los divisores de a (incluye a). 

Es una propiedad de $\sigma$ que $\sigma  (a\cdot b) = \sigma  (a)\cdot \sigma (b)$.

Supongamos que tenemos un número perfecto par y lo descomponemos parcialmente como $2^k x$ con $k\in\mathbb{N}$ máximo natural tal que $2^k$ divide a este perfecto arbitrario, por tanto x es impar. Para que sea perfecto sigma del número ha de ser el doble del número (los divisores propios suman el número más él mismo).

Esto significa que  $(2^{k+1} x) = \sigma (2^k x) = \sigma (x)  (2^{k+1} -1)$  aquí hemos usado la propiedad de $\sigma$ y que por lo que vimos en la otra implicación $\sigma (2^k) = 2^{k+1} -1$ 

El factor de (2^(k+1)-1) es impar mayor o igual que 3 y divide o es igual a x, el único factor impar del lado izquierdo. Por consiguiente $y = \displaystyle\frac{x}{2^{k+1}-1}$ es un divisor propio de x. Dividiendo ahora ambos lados de la igualdad por (2^(k+1)-1) y teniendo en cuenta los divisores conocidos x e y llegamos a:

$2^{k + 1}y = \sigma (x) = x + y +$ otros divisores = $2^{k + 1}$ y $+$ otros divisores y para que esto se cumple no puede haber otros divisores y llegamos a $y =1$ y x primo de la forma $2^{k+1} -1$ (es decir Primo de Mersenne)

Luego tenemos lo que queríamos probar, somos felices y comemos perdices.

Tenéis la demostración más despacito clara al ser en vídeo en: Vídeo Inglés Prueba

Nos vemos en la próxima entrada del blog y esperamos que os haya gustado😃

Apellidos, injusticias y 5 artículos matemáticos adicionales

Recuerdo que caminaba con mi tío abuelo hacia un centro de actividades para mayores. El iba a solicitar una plaza y yo iba firmemente a su lado. Cuando llegamos él me explicó que lo que hacían para repartir las plazas entre los solicitantes era lo siguiente:

Al azar elegían una letra del alfabeto y entonces si suponemos que hay N solicitantes y n plazas cogían si eran menos que n todas las personas cuyo apellido empezara por dicha letra, luego iban cogiendo de los de la siguiente (dentro de los que empezaban por una misma letra el apellido iban entrando por orden alfabético)

En ese momento no noté nada extraño con dicho sistema. A todo esto mi tío cuyo apellido era Herrera consiguió entrar por si os preocupaba quedaros sin saberlo. Realmente desafío un poco a la suerte porque no andaba con las mejores probabilidades.

Por ejemplo una amiga mía cuyo apellido era Zamora tenía muchas más probabilidades pues si lo pensamos por un momento hay muchísimos apellidos que empiezan por letras como la L,M,N,P entonces si por ejemplo tu apellido empieza por la N como no caiga esa letra justo la llevas bastante mal.

Sin embargo, si tu apellido empieza por Z estás de enhorabuena pues pocas personas hay (o al menos que conozca yo) cuyo apellido empiece por W,X o Y así que aunque sea bastante pequeño el n comparado el N tiene casi 4/27 de salir elegida mi amiga Zamora.

Desgraciadamente, este sistema que es tan injusto se sigue usando en muchos lugares. Lo que se hace a veces es hacer un sorteo de dos letras y empezar por ahí (por ejemplo AC y sigue AD,AE...) aunque esto arregla muy poco si no nada el problema.

Para conocer soluciones a este problema y aprender mucho de otros o recomendamos leer el último número de la revista de TeMat que es una revista realizada por estudiantes de Matemáticas y estadística de toda España que le ponen mucho empeño e ilusión. Os animamos a que les enviéis algún trabajo, son especialmente interesantes resúmenes de TfG.

¿Qué vas a encontrar en el último número de TeMat?   Enlace a la revista

1. ¿Por qué los sorteos por primeras letras de los apellidos son injustos?
2. El duodécimo problema de Hilbert para cuerpos cuadráticos imaginarios
3. Puntos en figuras convexas: El caso del hexágono regular
4. El sistema de axiomas de ZFC
5. Dominación Sparse y el teorema A2
6. Aplicación en combinatoria de las representaciones de grupos

Aunque no entendáis alguno de estos temas de entrada seguro que al leerlos aprendéis mucho y descubrís que os encantan. Quizá para la próxima edición sea tuyo uno de los artículos😊

Hasta el próximo artículo y compartid con vuestros compañeros la revista :)

Las matemáticas pueden ser maravillosas

Muchas veces no sabes en absoluto en que momento vas a aprender algo de matemáticas. Recuerdo que salía un día hace hará ya unos 6 años de un bar y me disponía a volver en la línea C2, estábamos dos señoras y yo en la parada. Vi el autobús a lo lejos y estimé que le quedaban unos 2 minutos pues le pillaría un semáforo.

Tras esta simple frase tuve una respuesta sorprendente de una de las señoras: ``¿A ti te gustan las matemáticas verdad?`` A lo que le respondí que sí y tras ello procedió a contarme una frase que me maravilló durante días por aquel entonces.

``Una recta es una curva de radio infinito`` Hoy esto me parece la cosa más evidente del mundo pero para mi yo de 2º de la ESO era fascinante, una nueva forma de entender el infinito, concepto con el que jamás había tratado. De por vida recordaré aquella frase y jamás pude agradecerle lo suficiente lo que hizo.

El año pasado estaba de ayudante con el concurso de Otoño y estuve explicándole a un chaval de 3º de la ESO que a mi forma de ver parecía bastante avispado el mundo de las matemáticas de la carrera y lo que es una demostración. Creo que jamás he disfrutado tanto contándole algo a alguien, su fascinación por el tema del que tratábamos era increíble, espero que al menos la mitad de lo que sentí tras la frase de aquella señora.

La divulgación de las matemáticas según como te encuentres con ella puede ser una experiencia increíble como en estos dos casos anteriores y estoy seguro que compañeros míos que hayan estado en la Feria de la Ciencia o el Salón del Estudiante podrán decir lo mismo. Recordad por qué os apasionan las matemáticas y nunca olvidéis esa magia cuando se entienden ciertos conceptos y esa pasión por transmitirlos a otros pues es una de nuestras mejores habilidades y riquezas

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El pasado febrero dejamos este número de forma enigmática (en los puntos habría más de 100 cifras que no ponemos por extensión) en nuestro facebook para que trataráis de adivinar de qué se trataba y os fuimos dando pistas. Al cabo de cierto tiempo tuvimos un ganador, nuestra más sincera enhorabuena a Jesús Baena que fue el primero en descifrar este número.

Vamos a introducir primero una fórmula conocida como la fórmula de Tupper aunque más bien se trata de una inecuación en las variables x e y.

Esta cosita de aquí tiene una serie de peculiaridades, de entrada parece un poco fea pero no dejemos que eso nos aleje de la misma. Como tenemos la parte entera de x e de y y nunca dichas variables sueltas da igual ver si se cumple la inecuación en (1,2) que en (1.663131,2.000001), podemos centrarnos en los valores de x e y enteros y si se cumple en (x,y) se cumplirá en el cuadrito [x,x+1)x[y,y+1) donde el x denota el producto cartesiano. 

Al hacer el gráfico coloreamos los cuadritos donde se cumple y dejamos en blanco aquellos en los que no. Y puede que te preguntes ¿Qué tiene todo esto que ver con el número que tenemos arriba? Pues mucho, querido lector interesado pues si denominados k al número monstruoso y vemos que le pasa al gráfico en  [0,106]x[k,k+17] obtenemos:

Y diréis que trabajazo se han metido los de cultura para calcular que número daba ese mensaje... la realidad es que no, hay una preciosa página que te lo hace, os ponemos el link al final.

Porque no solo vas a poder encontrar un k para este mensaje, esta fórumula dada una combinación de esos 17x106 píxeles de la imágen (2^(17*106)) posibles combinaciones distintas, todas aparecerán para algún k en la representación gráfica (demostrarlo ya es más complicado) en particular aparecerá lo siguiente:

Una fórmula que se representa a ella misma en píxeles sorprendente.Por ello se la conoce como Tupper´s self referential formula.

 Os animamos a que probéis a ver que k obtenéis y ocultéis distintos mensajes de esta forma y nos pongáis los valores de k en los comentarios, podéis aprovechar para insultarnos   decirnos cuanto os ha gustado la entrada declararle el amor a alguien o lo que se os ocurra.

http://tuppers-formula.tk/

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A veces los matemáticos no somos los más precisos...

Uno pensaría que en las matemáticas todo está definido con exactitud y es más típico de los burdos físicos el hacer aproximaciones y conformarse con estimaciones y cotas.

Sin embargo, hay problemas matemáticos que cuesta mucho hallar la solución exacta y a veces se va acotando superiormente e inferiormente para ver por donde se encuentra.

Teorema de los 4 colores

Por ejemplo el teorema de los 4 colores que nos dice que todo mapa dividido en regiones se puede colorear con a lo más a los 4 colores sin que haya dos regiones con frontera común (que no sean puntos aislados) pintados ambas del mismo color. Esto los chavales que van al salón del estudiante lo han aprendido de sobra después de que se lo hayamos dicho 500 veces junto con los puentes.



La demostración de este hecho (algunos no consideran siquiera que pueda llamarse demostración por hacerse a ordenador aunque otros, incluso profesores de nuestra facultad dirán que se fian más del ordenador que de ellos mismos...) es muy compleja y de entrada no se sacó de la noche a la mañana.

Se empezó acotándolo inferiormente pues es fácil ver que hay grafos planares que requieren 4 colores para colorear sus vértices (es equivalente esto a dividir por regiones considerando como si los vértices fueran las regiones y las aristas cuales tienen frontera en común). Por ejemplo, el grafo conocido como K4 o lo que es lo mismo los vértices de un cuadrado conectados y sus diagonales sin que estas se pisen (haciendo que una de ellas vaya por fuera para que el grafo sea planar). Todas los vértices están conectados al resto así que claramente hacen falta 4 colores.

Primero se demostró que cualquier grafo se podía colorear con 8 colores, así por empezar con un número que funcionó. Ya sabemos que estará entre 4 y 8. (La demostración de esto no es difícil pero por extensión no la haremos aquí). Al no mucho tiempo se consiguió sin demasiada dificultad bajar a 7 y luego a 6. Dem de a lo sumo 6

La demostración para 5 si es mucho más técnica y ni de lejos he podido entenderla ni le voy a dedicar el tiempo  para hacerlo (al menos no aún). Y ya en 1976 se hizo la prueba por ordenador determinando el resultado. Este es un ejemplo en el que se sabe ahora la respuesta exacta pero hay otros que no.

Primos Gemelos

Los primos gemelos no son aquellos que se conocieron a la vez ni nada por el estilo. Son primos que están a distancia 2 el uno del otro (Topólogos aquí podéis matarme por rigor pero creo que se me entiende). Dicho de otra forma números de la forma p, p+2 ambos primos.

Todos (o al menos todo matemático que se precie) sabe que hay infinitos números primos, cosa que demostró Euclides hace más de 2000 años ya. Algo que no es tan evidente es si hay infinitos primos gemelos. Y la respuesta es... que no lo sabemos.

Lo que sí se ha podido calcular es cotas superiores de distancia entre primos manteniendo su infinitud. Para que nos entendamos lo que hasta ahora hemos demostrado es que hay infinitos primos que están a menos de 256 unidades, de entrada puede parecer un poco inútil pero ha sido un gran avance con respecto a las primeras cotas superiores. Sabemos que la respuesta exacta de cuál es la mínima distancia entre primos habiendo infinitos primos de dicha forma está entre 2 y 256.

Primero Yitang Zhang probó como cota superior 70 millones. A ver, de infinito a esto hay un trecho. Después usando razonamientos parecidos a lo que dijo Yitang Zhang se fue bajando la cantidad. Se hizo un proyecto para optimizar los argumentos y se bajó hasta 4680 y luego se siguió con métodos aún más complejos. Más información aquí: https://www.youtube.com/watch?v=QKHKD8bRAro


Ya por último que suponemos que estaréis un poco hartos os traemos la cota que podríamos decir es menos útil de todas en un problema.

Número de Grahm


Vamos a primero a introducir el problema y luego este número que tiene nombre propio. Supongamos así de entrada un cubo n-dimensional. Un cuadrado si n=2 el cubo de toda la vida si n=3, hipercubo si n=4 y así.

Ahora vamos a ver esto como un grafo  considerando las aristas que unen los vértices de la figura n-dimensional. Se trata de un grafo completo de 2^n vértices.  La idea ahora es colorear cada arista que une 2 vértices en uno de dos colores, digamos azul o rojo.

La pregunta es cuál es la dimensión mínima tal que para cualquier coloreado que hagamos existirán cuatro vértices coplanares* tal que el subgrafo formado por dichos 4 vértices solo tiene un color.

*Coplanares significa que los 4 vértices (el K4 que se generaría) está en el mismo plano.

El subgrafo formado por los 4 vértices para entendernos es el K4 formado por esos vértices y las conexiones entre ellos, y solo tiene un color si sus 6 aristas son todas bien rojas o azules. La respuesta está acotada inferiormente por 6 (es decir, con 5 existe un coloreado tal que no existe ningun coloreado monocromático de 4 vértices coplanares y con 6 no sabemos)

Lo divertido llega con la cota superior al problema. Vamos a introducir la notación de la flehca↑
Una sola flecha es la potencias a las que estamos acostumbrados. 3↑4 = 3*3*3*3 (3 multiplicado por si mismo 4 veces.)

Ahora la flecha doble va a ser de la misma manera que la potencia es repetir la multiplicación va a ser reiterar la potencia. 2↑↑4 = (2^(2^(2^(2))))= 65536. La triple flecha significaría hacer de forma reiterada la doble flecha y así sucesivamente es la recursión. Por si no te has quedado con la copla abajo hay una imagen explicándolo.

No es difícil ver que los números crecen a una velocidad pasmosa a medida que vamos añadiendo flechas.

La triple flecha A↑↑↑B la podemos ver como A escrito una cantidad B de veces con 2 flechas entre cada par de Bs y luego desarrollar esas dobles flechas de la misma manera ahora con flechas simples.

Más detalle por si no lo has entendido del todo (que es normal dado que es complicado en: Notación Flecha.

Vamos a construir una secuencia de números g1,g2... para llegar hasta el número de Grahm.
Llamamos g1 al número 3↑↑↑↑3 un número ya de por si inimaginable. Aunque agarraos porque esto es solo el principio.

g2 es 3↑↑↑↑...↑↑↑↑3 habiendo g1 flechas entre ambos treses. Creo que ya vais viendo por donde va la cosa...
g3 es 3↑↑↑↑...↑↑↑↑3 habiendo g2 flechas entre ambos treses. Podía seguir escribirlo pero creo que se entiende y me siento vago la verdad.

g64 es 3↑↑↑↑...↑↑↑↑↑3 con g63 flechas entre ambos treses. Esta preciosidad, g64 inimaginable de ninguna de las maneras y ni de lejos representable con potencias (por eso hemos recurrido a esta notación) es el número de Grahm.

Casi na,¿ y para que sirve este gigantesco número? Pues este es una cota superior del problema que definimos antes. Dicho de otra forma que hemos `acotado` la solución del problema entre 6 y eso. Siempre me ha hecho muchísima gracia como de bestia es esta acotación. Ahora cuando apliquéis Bolzano o los círculos de Gershgorin al buscar una raíz o un autovalor y penséis que tenéis que buscar en una zona muy amplia al menos no tenéis un margen como este que aplicar en coloreados de cubos n-dimensionales y seguro que ahora vuestro aburrido  útil problema de cálculo numérico no parece tan coñazo de tener que hacer 10 iteraciones a mano feo y tedioso.

Nos vemos en la próxima entrada y si hay algún tema del que queráis que escribamos o queréis mandarnos un artículo vuestro que os interesa que expongamos podéis hacerlo por culturamates@gmail.com o hablando con nosotros en persona. Ciao

Grafos conexos, autobuses y trenes

Hace un cierto tiempo estábamos en clase de matemática Discreta y uno de mis profesores me propuso ver si los mapas de metro de Londres y de Tokyo eran conexos. Yo como cualquier otra persona no normal en lugar de pasar tres pueblos del asunto me dediqué a comprobarlo.

El metro de Londres tiene un mapa muy bonito y la verdad es que la red y las líneas son muy chulas (voy a apartar aquí mi vena de friki de los transportes). El mapa como muchos sabréis es un grafo pues se representa la conexión entre las estaciones muchas veces distorsionando las direcciones y las distancias según conveniencia.

Ahora uno ve el de Tokyo y parece un absoluto caos pero en realidad no lo es tanto porque si nos fijamos nos va poniendo el orden de las estaciones según las líneas. Así tenemos una ventaja, si alguna vez en tu vida tienes que coger el metro de Tokyo (No nos dirás que este blog no es útil) viendo dos estaciones de la misma línea sabes cuántas estaciones hay entre ambas sin tener que contarlas lo que puede ser tedioso. (Y las intersecciones de líneas son mucho más claras)

Os hago spoiler: Ambos mapas de metro son conexos, es decir, desde cualquier estación se puede llegar a cualquier otra de la red.

Lo que hice para llegar a esa conclusión es dado un tren de una línea podemos llegar a cualquier estación de dicha línea luego podemos representar esa línea como un vértice del grafo y si el grafo formado por todas las líneas es conexo tenemos nuestro objetivo (OLÉ)

En ambos casos el grafo es conexo y de hecho tiene diámetro menor que 4. Para aquellos que no sepáis lo que es el diámetro de un grafo es dado un vértice cualquiera (línea en nuestro caso) cuál es el mínimo de aristas que hemos de recorrer (cambio de línea) para llegar a cualquier otro de los vértices (cualquier otra línea). Dicho de otra forma, el número de cambios de línea para pasar entre dos líneas cualesquiera del grafo. Es fácil comprobar que por ejemplo en el de Londres partiendo de la línea Circle con a lo sumo 2 cambios podemos llegar a cualquier línea. Por consiguiente el diámetro será a lo sumo 4 pues desde una línea cualquiera podemos llegar a lo sumo en dos cambios a la línea Circle y luego de esta a cualquier otra.

Sin embargo, no tiene por qué ser 4 el diámetro. Sabemos que está acotado superiormente por 4 y inferiormente por 2 pues de por ejemplo otra vez la línea Circle no se puede conectar con todas las demás. Hay un teorema en teoría de grafos que dice que el diámetro ha de ser menor que 2 veces el radio lo cual tiene sentido por lo que hemos explicado.

Os dejamos aquí los grafos resultantes de los metros de Londres y Tokyo.

Este es el grafo representado en Geogebra del metro de Londres

Y este es el correspondiente del metro de Tokyo

Por supuesto no hemos hecho estudio con el metro de Sevilla pues se trata del grafo trivial. Consta de un solo punto (vértice) al solo tener por ahora (y seguramente por bastantes años) una única línea. Al menos lo que nos indica las estaciones y sus conexiones si es un grafo aunque demasiado aburrido como para dedicarle más de 4 líneas.

Un día volviendo en el autobús le enseñé a un compañero mío esto y entonces dijo, ¿Y se te ha ocurrido hacerlo de los autobuses de Sevilla? cosa que en un principio me había planteado pero si ya los grafos de estos mapas de metro son algo complicados no me quería imaginar el de la red de autobuses. Pero como bien dijo Prado Bassas lo que mueve la ciencia es el ``No hay huevos`` y esa misma noche ante el reto de mi compañero me dediqué a elaborar dicho grafo.

Eso sí, solo consideré como conexión si era exactamente en la misma parada pues si no entraba el dilema de cuanta distancia tenían que separar dos paradas para que no se consideraran enlace. Además de la dificultad de medir eso y la gran posibilidad de cometer errores al hacerlo (y no disponer de tanto tiempo)

Si os fijáis el tranvía (T1) es la única línea que no está conectada con las demás al no tener técnicamente paradas en común por el resto. Lo restante sí es conexo y de hecho en su momento calculamos (el desarrollo mediante fuerza bruta me lo voy a ahorrar) que el diámetro era bien o 3 o 4. Si alguno de vosotros por algún extraño motivo quiere hallar la respuesta exacta y mandárnosla a culturamates@gmail.com no nos quejaremos (entenderemos evidentemente lo contrario). Esperamos que os haya gustado esta entrada y nos vemos en la próxima :)