II Semana Cultural de la Facultad de Matemáticas (15 al 19 Octubre, abierta a toda la comunidad universitaria)

Estamos encantados de anunciar que llega la 2ª semana Cultural de la facultad de Matemáticas, abierta a toda la comunidad universitaria (da igual que no seas de la facu de mates) con un sinfin de actividades como Rol, Partidos Alumnos-Profesores, Trivia, un concurso de talentos, charlas y mucho más, un evento que no te puedes perder de ninguna de las maneras :) 


Habrá muchos premios para los ganadores gracias a la financiación por los presupuestos participativos del CADUS y regalitos para los asistentes así que más os vale pasaros 😉

Os dejamos el horario y después por días una descripción detallada de todas las actividades. Algunas requieren inscripción y en otras es recomendable. (Más abajo todos los detalles de las actividades)

Salvo que se indique lo contrario las actividades son en los respectivos espacios en la Facultad de Matemáticas (Entre C/Tarfia y C/Reina Mercedes)

Cualquier duda consultadnos en culturamates@gmail.com, @culturamates en fb y twitter o para un contacto más directo: @Alf1729 en Telegram

Podéis participar en todas las actividades aunque no hayáis hecho algo similar antes (así probáis videojuegos, deportes, nuevos hobbies y seguro que os divertís un montón que al final es lo más imprtante)

 Inscripciones a las actividades 

(*): Requiere inscripción previa
(**): Recomendable inscripción previa aunque puedes aparecer en el momento (Tienen prioridad los inscritos caso de menos plazas que asistentes).



Los horarios están hechos de forma que no se solapen las actividades salvo Go y Teatro que coinciden con la batalla, así que te puedes apuntar a casi todas y os animamos a apuntaros a muchas para aprovechar de verdad la semana (Los 3 torneos de videojuegos por parejas son simultáneos), os dejamos el horario con los detalles de cada actividad por días.

Toda la semana

Yincana (Por toda la facultad): Escondidas por toda la facultad durante la semana Cultural habrá una serie de frases de matemáticos que tenéis que hallar y descubrir de quienes son. Quien mande más frases con sus respectivos autores a culturamates@gmail.com hasta el Viernes 19 de Octubre a las 23:59 será el ganador de la Yincana y por consiguiente del premio que esta esconde (Las pistas no estarán escondidas en despachos de profesores rogamos no molestéis a estos).

Lunes 15

11:00 (Comedor): Charla informal sobre La Geometría Proyectiva en el Arte Renacentista por Javier Huertas, las matemáticas están presentes en todos los lugares aunque a veces no podamos ver sus aplicaciones de forma directa.

16:00: (Salón de actos): Concurso de talentos: Saca tus habilidades a escenario, ¿tocas algún instrumento? ¿Tienes una gran voz? ¿Te sabes toda la tabla periódica de grupos finitos? Todo tiene cabida en este bizarro concurso (*) Inscríbete ya para poder participar y ser el ganador. En la pasada edición tuvimos desde un speedrun del buscaminas, memorización de banderas pasando por una exhibición de Diábolo, anímate y participa. Para venir de público no es necesaria inscripción y ayudarás a determinar quien se hará con la victoria. (*)

17:30: Torneos de Videojuegos por parejas (Comedor): Busca a un compañer@ y compite en uno o varios de los siguientes videojuegos (Se jugarán simultáneamente, puedes participar en varios) (**)

- Duck Game (El juego de los patos): Si no has probado este juego tradición de Cultura seguro te encantará, luchas 2 contra 2 que están garantizadas a provocar más de una carcajada

- The Binding of Isaac: Rebirth: Jugaréis juntos a una mano cada uno y desde luego puede ser gracioso el caos que genere o demostrar que sois la leche.

- Keep Talking and Nobody Explodes: Uno es capaz de ver un manual de como desactivar bombas mientras que el otro es el que tiene que desactivarla, la cooperación y capacidad de comunicarse de los jugadores son clave en este juego.

Os animamos a apuntaros aunque no tengáis ni idea y así descubrís nuevos juegos y pasáis un buen rato😊 (No tenéis que traer nada más allá de ganas para los Torneos)

Inscripciones

Martes 16

11:00: Charla informativa de Movilidad ERASMUS/SICUE (Salón de Actos) por el vicedecano de estudiantes Jesús Soto.

16:00: Trivial Alumnos Profesores (Salón de Actos Mates): Compite a ver quien sabe más preguntas de conocimiento general y demuestra que un alumno puede saber más que un profesor (o muere en el intento) busca equipos de hasta 3 personas para participar. Serán preguntas de todo tipo y seguro que será interesante. (**)

17:30: (Rol a todos los niveles en el comedor): Partidas de este juego que a tantos mueve, tanto si eres un experto en hacer pifias como si nunca has jugado a Rol eres bienvenido, disfruta de increíbles partidas organizadas por los miembros del aula que seguro te encantarán. (Puedes ser asesinado rápidamente pero eso es parte de la diversión) (**)

21:00: Básket Alumnos-Profesores (SADUS Pirotecnia) Una batalla épica de la que puede salir un equipo ganador, dejemos por un día lo académico y disfrutemos juntos de una noche deportiva, una oportunidad única que no puedes dejar escapar. (*)

Inscripciones
(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Miércoles 17

11:00: Charla José María Tornero (Salón de Actos): ``Como liarla sin salirse de los Naturales`` Estamos seguros de que Tornero no nos dejará indiferente con su genial charla de la que salimos fascinados :)

11:50 :(Hora Aproximada, tras la Charla de Tornero, Salón de Actos): Charla del colectivo LGTB+ de Reina Pedro Zerolo: ``Cómo NO salir del armario`` Nosotros estamos deseando ver que nos cuentan que
seguro que es importante e interesante.

16:00: Torneo de Póker (Aula de Cultura Mates): Ven con ganas de jugar al Póker (Da igual si no has jugado antes) y intenta hacerte con todas las fichas, un clásico entre los juegos de apuestas (Sin apostar dinero evidentemente, la esperanza de la variable aleatoria participar en el torneo es positiva pues no perdéis nada y podéis ganar algún premio) (**)

17:30: Club de Lectura (Comedor): Apasiónate por la lectura y debate sobre los mejores libros viniendo al club de lectura, siempre en la mejor compañía. (**)

18:30: Juegos de mesa a raudales (Comedor): Tendréis todos los juegos de mesa de los que disponemos en Cultura y más a vuestra disposición para que probéis nuevos juegos y compitáis entre vosotros, trae a tus amigos y conoce nuevos juegos que seguro que os encantarán. (**)

21:00: Fútbol 7 Alumnos Profesores (SADUS Bermejales): El acontecimiento deportivo de la temporada. Un reto histórico. Lo nunca visto. En enfrentamiento en la cumbre. Disfrutad de esta oportunidad única de batallar con profesores/alumnos y pasar un gran día. (*)

Inscripciones

(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Jueves 18

11:00: Experiencias ERASMUS/SICUE: Varios (ex)alumnos nos contarán sus experiencias al haberse ido de ERASMUS o SICUE, además podrás hacerle todas las preguntas que quieras sobre como es hacer un año fuera para ayudarte a decidir si quieres vivir la experiencia.

16:00: Taller de Programación (Lab 6 Módulo H Informática): No tienes ni papa de como programar, no te preocupes, empieza desde cero en este curso y vete metiendo en el mundillo (es un taller semanal y luego podrás seguir aprendiendo más), java y mucho más al alcance de tu mano. (**)

17:30: (Rol a todos los niveles en el comedor): Partidas de este juego que a tantos mueve, tanto si eres un experto en hacer pifias como si nunca has jugado a Rol eres bienvenido, disfruta de increíbles partidas organizadas por los miembros del aula que seguro te encantarán. (Puedes ser asesinado rápidamente pero eso es parte de la diversión) (**)

Inscripciones
(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Viernes 19

11:00: Charla informal: ``Los límites del humor`` (Comedor)   Antonio Beato (Junior) nos enseñará hasta que punto se puede jugar con el humor, un tema que a veces puede ser muy delicado, seguro que entre todos llegamos a una interesante conclusión.

15:30: Club de Go(Césped del Campus, entre mates, física, química y bio): Aprende a jugar a este juego en el que aun no ha conseguido ganar el ordenador al humano, aprende desde cero con los compañeros del club que lo dominan y estarán encantados de explicarte como funciona Go, o practica y mejora hasta hacerte un campeón si ya tienes experiencia. Nunca es tarde para aprender un nuevo juego (**)

16:00: Batalla Matemática (Aula 03):Una épica batalla: Dos equipos se enfrentan a duelo en una serie de problemas que se presentarán durante la tarde y que luego tendrán que exponer su solución (Los problemas estarán diseñados de forma que no se tenga ventaja por ser de cursos superiores) ¿Qué equipo se alzará con la victoria? Una batalla matemática es una competición en la que cuenta tanto la inteligencia como la estrategia durante la misma, os dejamos las reglas: Reglas Batalla (*)
La emoción de una batalla matemática es algo que solo se puede vivir participando y seguro que disfrutáis luchando :)

17:00: Club de Teatro (Aula 06): Introdúcete en las artes escénicas en este club, ven y aprende de improvisación, técnicas de locución, y lo más importante pasar un rato divertido en el que perder algo de vergüenza (Este club se realiza semanalmente y se puede seguir tras el mismo), un gran plan que no te puedes perder. (**)

Nota: Go y Teatro coincidirán con la batalla que se extenderá de 4 a 8 aproximadamente, si quieres venir de público a presenciar la batalla puedes venir a las 6 (No es necesaria inscripción). (El resto de actividades de la semana no se solapan y te puedes apuntar a todas :)

Como veis tenemos una barbaridad de actividades, ¿Qué hacéis que no os estáis inscribiendo a todas ya? Inscripciones

(*) = Obligatorio inscripción
(**): Recomendable inscrpción (Da prioridad de plaza caso plazas limitadas y nos ayuda a estimar asistentes)

Esperamos que la semana Cultural sea un éxito y disfrutéis de las actividades con la misma ilusión con las que nosotr@s las hemos estado preparando, recuerda que puedes reenviarle toda la info a todos tus amig@s para que vengan también (sin importar de que facu sean)😏

Cargados de actividades para este curso

Buenas chicos, es cierto que últimamente no ha habido muchas entradas de actividades al estar de vacaciones, pero eso cambia hoy donde anunciamos las actividades que empezamos esta primera semana de Octubre y algunas vienen para quedarse :)

Todas las actividades están abiertas a toda la comunidad universitaria, eso significa que puedes invitar a tus amigos sin importar de que facu sean para que vengáis en piña (asumiendo la hipótesis de que tenéis amigos)

Club de Rol: Muchos nos lo pedistéis y ha llegado para quedarse, este martes a las 16:00 en el comedor primera reu informativa del club y jugaremos algunas partidas. ¿Cómo que no vas a ir porque nunca has jugado? Esta es tu oportunidad de aprender, no te preocupes en absoluto de que seas un novato en el mundillo, seguro que lo pasas genial. Puedes venir a una sesión sin compromiso alguno :)

¿Eres de los que se beben los libros? ¿O quieres empezar a leer un poquito más? En cualquiera de los dos casos eres bienvenido, habla sobre libros en el mejor ambiente y compañía y debate sobre lo mierda  geniales que son, un lugar donde todas las opiniones tienen cabida y esperamos que este nuevo taller tenga éxito :)
Los miércoles a las 17:30 en el comedor

Nuestro clásico taller de Go vuelve con más ganas que nunca, da igual que no sepas lo que es el Go o seas un absoluto experto (bueno, si eres el mejor de España si puede que no te aprendas nada) seguro que algo aprendes y descubres este juego en el que aun el ordenador no ha sido capaz de ganar a la mente humana. Todos los viernes a las 15:30 en la sala de estudios

Por último vuelve el taller de teatro, abierto a todos los niveles aunque no buscamos ni mucho menos gente que sepa mucho, cualquier persona con ganas es bienvenida y entre todos haremos improvisaciones, juegos y a ver si conseguimos montar una obra, todos los viernes a las 17:00 en el aula 06, puedes inscribirte mandando un correo Aquí si sabes que vas a venir a menudo, o probar un día y ya decidir :)



No tengáis miedo de ir a una actividad porque no sepáis sobre ello, cualquiera es bienvenido a aprender y ante todo se buscará el buen ambiente entre los participantes :), todo esto es para pasarlo bien, conocer gente y aprender en el proceso. Recordad que la uni es más que solo estudiar y esta es una de las cosas buenas de la misma.

Como podéis ver venimos con muchas cositas, esperamos veros en nuestros distintos talleres y que nos ayudéis a que tengan éxito compartiéndolos con vuestros compañeros para que lleguen a todo el mundo 😉 (incluso a los fisicuchos, (en el fondo del fondo les queremos))

Para cualquier duda sobre las actividades os atendemos en el aula de Cultura en el fondo del pasillo o nos podéis preguntar por Correo o dejarnos un mensaje en Twitter o Facebook

Primos de Mersenne y Números Perfectos

Hola Culturetas, hoy vamos a ver la fuerte relación que hay entre estos dos grupos de números que aparentemente no tienen nada que ver, vamos a conocer a nuestros protagonistas:

- Números perfectos: Son aquellos naturales tal que la suma de sus divisores propios (sus divisores salvo el propio número) te da el propio número. Por ejemplo $$6 = 1+2+3 \hspace{2cm} 28= 1+2+4+7+14$$ Estos son los dos primeros números perfectos y son bastante escasos. Destaca esta frase de Descartes: "Los números perfectos, al igual que los hombres perfectos son muy escasos"

- Primos de Mersenne: Son los números primos de la forma $2^n-1$. Deben su nombre al matemático Marin Mersenne que abarcó campos tan variados como la teología, las matemáticas y la teoría musical. Vivió del 1588 al 1648.

 No se sabe a día de hoy si hay infinitos primos de Mersenne, n si hay infinitos números perfectos. Como curiosidad todos los números perfectos que se conocen son pares, a día de hoy no se ha encontrado ningún número perfecto impar, ni se ha demostrado que no haya ninguno.

Ya sabes otra cosa qué demostrar si quieres ser medianamente famoso😉 aunque te recomendamos que te centres en las demostraciones de la carrera, que en comparación con estas cosas no son tan difíciles.

Pues existe una biyección entre los números primos de Mersenne y los números perfectos pares, por ello ahora conocemos tantos números perfectos como primos de Mersenne y cada vez que se encuentra un nuevo primo y toda la comunidad matemática lo celebra (o al menos el que suscribe) descubrimos un nuevo número perfecto. (Los números primos que se buscan son primos de Mersene más info aquí)

Y lo mejor de todo es que se puede demostrar de forma relativamente sencilla para que todos podamos estar seguros de que este resultado es cierto.

La aplicación que vamos a probar que es una biyección es que si $2^n -1$ es un primo de Mersenne entonces $2^{n-1} (2^n -1)$ es un número perfecto.

La implicación $\fbox{$\Longrightarrow$}$ fue probada por Euclides hace más de 2300 años mientras que la otra implicación fue hecha por Euler (si es que era un ansias el pobre como todos sabemos).

$\fbox{$\Longrightarrow$}$

Supongamos $2^n -1$ primo de Mersenne. Queremos probar que $2^{n-1} (2^n - 1)$ es un número perfecto.

Los divisores de este producto serán $2,2^2,...,2^{n-1}$ (pues dividen al primer factor),  $(2^n -1)$, pues es el segundo factor, y el producto de las potencias de 2 que descomponen el primer factor con $(2^n-1)$. No hay otros divisores pues $(2^n-1)$ es primo por hipótesis y no tiene más divisores.

Luego la suma será $$2+2^2+...+2^{n-1} + 2(2^n-1) +2^2(2^n-1)+2^3(2^n-1)+...2^{n-2} (2^n-1)$$

$$= (2^n-1) + (2^{n-1}-1)(2^n-1)$$

Nota: El primer sumando es la suma de las potencias de $2, 2+2^2+...2^k = 2^{k+1}-1$

El segundo sumando sale de aplicar esto mismo sacando $(2^n-1)$ de factor común de la suma y tenemos lo que queríamos demostrar (si no ves este paso saca factor común $(2^n -1)$ y sale fácil.

$\fbox{$\Longleftarrow$}$

Vamos a para simplificar la notación denotar por $\sigma (a)$ la suma de los divisores de a (incluye a). 

Es una propiedad de $\sigma$ que $\sigma  (a\cdot b) = \sigma  (a)\cdot \sigma (b)$.

Supongamos que tenemos un número perfecto par y lo descomponemos parcialmente como $2^k x$ con $k\in\mathbb{N}$ máximo natural tal que $2^k$ divide a este perfecto arbitrario, por tanto x es impar. Para que sea perfecto sigma del número ha de ser el doble del número (los divisores propios suman el número más él mismo).

Esto significa que  $(2^{k+1} x) = \sigma (2^k x) = \sigma (x)  (2^{k+1} -1)$  aquí hemos usado la propiedad de $\sigma$ y que por lo que vimos en la otra implicación $\sigma (2^k) = 2^{k+1} -1$ 

El factor de (2^(k+1)-1) es impar mayor o igual que 3 y divide o es igual a x, el único factor impar del lado izquierdo. Por consiguiente $y = \displaystyle\frac{x}{2^{k+1}-1}$ es un divisor propio de x. Dividiendo ahora ambos lados de la igualdad por (2^(k+1)-1) y teniendo en cuenta los divisores conocidos x e y llegamos a:

$2^{k + 1}y = \sigma (x) = x + y +$ otros divisores = $2^{k + 1}$ y $+$ otros divisores y para que esto se cumple no puede haber otros divisores y llegamos a $y =1$ y x primo de la forma $2^{k+1} -1$ (es decir Primo de Mersenne)

Luego tenemos lo que queríamos probar, somos felices y comemos perdices.

Tenéis la demostración más despacito clara al ser en vídeo en: Vídeo Inglés Prueba

Nos vemos en la próxima entrada del blog y esperamos que os haya gustado😃

Apellidos, injusticias y 5 artículos matemáticos adicionales

Recuerdo que caminaba con mi tío abuelo hacia un centro de actividades para mayores. El iba a solicitar una plaza y yo iba firmemente a su lado. Cuando llegamos él me explicó que lo que hacían para repartir las plazas entre los solicitantes era lo siguiente:

Al azar elegían una letra del alfabeto y entonces si suponemos que hay N solicitantes y n plazas cogían si eran menos que n todas las personas cuyo apellido empezara por dicha letra, luego iban cogiendo de los de la siguiente (dentro de los que empezaban por una misma letra el apellido iban entrando por orden alfabético)

En ese momento no noté nada extraño con dicho sistema. A todo esto mi tío cuyo apellido era Herrera consiguió entrar por si os preocupaba quedaros sin saberlo. Realmente desafío un poco a la suerte porque no andaba con las mejores probabilidades.

Por ejemplo una amiga mía cuyo apellido era Zamora tenía muchas más probabilidades pues si lo pensamos por un momento hay muchísimos apellidos que empiezan por letras como la L,M,N,P entonces si por ejemplo tu apellido empieza por la N como no caiga esa letra justo la llevas bastante mal.

Sin embargo, si tu apellido empieza por Z estás de enhorabuena pues pocas personas hay (o al menos que conozca yo) cuyo apellido empiece por W,X o Y así que aunque sea bastante pequeño el n comparado el N tiene casi 4/27 de salir elegida mi amiga Zamora.

Desgraciadamente, este sistema que es tan injusto se sigue usando en muchos lugares. Lo que se hace a veces es hacer un sorteo de dos letras y empezar por ahí (por ejemplo AC y sigue AD,AE...) aunque esto arregla muy poco si no nada el problema.

Para conocer soluciones a este problema y aprender mucho de otros o recomendamos leer el último número de la revista de TeMat que es una revista realizada por estudiantes de Matemáticas y estadística de toda España que le ponen mucho empeño e ilusión. Os animamos a que les enviéis algún trabajo, son especialmente interesantes resúmenes de TfG.

¿Qué vas a encontrar en el último número de TeMat?   Enlace a la revista

1. ¿Por qué los sorteos por primeras letras de los apellidos son injustos?
2. El duodécimo problema de Hilbert para cuerpos cuadráticos imaginarios
3. Puntos en figuras convexas: El caso del hexágono regular
4. El sistema de axiomas de ZFC
5. Dominación Sparse y el teorema A2
6. Aplicación en combinatoria de las representaciones de grupos

Aunque no entendáis alguno de estos temas de entrada seguro que al leerlos aprendéis mucho y descubrís que os encantan. Quizá para la próxima edición sea tuyo uno de los artículos😊

Hasta el próximo artículo y compartid con vuestros compañeros la revista :)

Las matemáticas pueden ser maravillosas

Muchas veces no sabes en absoluto en que momento vas a aprender algo de matemáticas. Recuerdo que salía un día hace hará ya unos 6 años de un bar y me disponía a volver en la línea C2, estábamos dos señoras y yo en la parada. Vi el autobús a lo lejos y estimé que le quedaban unos 2 minutos pues le pillaría un semáforo.

Tras esta simple frase tuve una respuesta sorprendente de una de las señoras: ``¿A ti te gustan las matemáticas verdad?`` A lo que le respondí que sí y tras ello procedió a contarme una frase que me maravilló durante días por aquel entonces.

``Una recta es una curva de radio infinito`` Hoy esto me parece la cosa más evidente del mundo pero para mi yo de 2º de la ESO era fascinante, una nueva forma de entender el infinito, concepto con el que jamás había tratado. De por vida recordaré aquella frase y jamás pude agradecerle lo suficiente lo que hizo.

El año pasado estaba de ayudante con el concurso de Otoño y estuve explicándole a un chaval de 3º de la ESO que a mi forma de ver parecía bastante avispado el mundo de las matemáticas de la carrera y lo que es una demostración. Creo que jamás he disfrutado tanto contándole algo a alguien, su fascinación por el tema del que tratábamos era increíble, espero que al menos la mitad de lo que sentí tras la frase de aquella señora.

La divulgación de las matemáticas según como te encuentres con ella puede ser una experiencia increíble como en estos dos casos anteriores y estoy seguro que compañeros míos que hayan estado en la Feria de la Ciencia o el Salón del Estudiante podrán decir lo mismo. Recordad por qué os apasionan las matemáticas y nunca olvidéis esa magia cuando se entienden ciertos conceptos y esa pasión por transmitirlos a otros pues es una de nuestras mejores habilidades y riquezas

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El pasado febrero dejamos este número de forma enigmática (en los puntos habría más de 100 cifras que no ponemos por extensión) en nuestro facebook para que trataráis de adivinar de qué se trataba y os fuimos dando pistas. Al cabo de cierto tiempo tuvimos un ganador, nuestra más sincera enhorabuena a Jesús Baena que fue el primero en descifrar este número.

Vamos a introducir primero una fórmula conocida como la fórmula de Tupper aunque más bien se trata de una inecuación en las variables x e y.

Esta cosita de aquí tiene una serie de peculiaridades, de entrada parece un poco fea pero no dejemos que eso nos aleje de la misma. Como tenemos la parte entera de x e de y y nunca dichas variables sueltas da igual ver si se cumple la inecuación en (1,2) que en (1.663131,2.000001), podemos centrarnos en los valores de x e y enteros y si se cumple en (x,y) se cumplirá en el cuadrito [x,x+1)x[y,y+1) donde el x denota el producto cartesiano. 

Al hacer el gráfico coloreamos los cuadritos donde se cumple y dejamos en blanco aquellos en los que no. Y puede que te preguntes ¿Qué tiene todo esto que ver con el número que tenemos arriba? Pues mucho, querido lector interesado pues si denominados k al número monstruoso y vemos que le pasa al gráfico en  [0,106]x[k,k+17] obtenemos:

Y diréis que trabajazo se han metido los de cultura para calcular que número daba ese mensaje... la realidad es que no, hay una preciosa página que te lo hace, os ponemos el link al final.

Porque no solo vas a poder encontrar un k para este mensaje, esta fórumula dada una combinación de esos 17x106 píxeles de la imágen (2^(17*106)) posibles combinaciones distintas, todas aparecerán para algún k en la representación gráfica (demostrarlo ya es más complicado) en particular aparecerá lo siguiente:

Una fórmula que se representa a ella misma en píxeles sorprendente.Por ello se la conoce como Tupper´s self referential formula.

 Os animamos a que probéis a ver que k obtenéis y ocultéis distintos mensajes de esta forma y nos pongáis los valores de k en los comentarios, podéis aprovechar para insultarnos   decirnos cuanto os ha gustado la entrada declararle el amor a alguien o lo que se os ocurra.

http://tuppers-formula.tk/

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A veces los matemáticos no somos los más precisos...

Uno pensaría que en las matemáticas todo está definido con exactitud y es más típico de los burdos físicos el hacer aproximaciones y conformarse con estimaciones y cotas.

Sin embargo, hay problemas matemáticos que cuesta mucho hallar la solución exacta y a veces se va acotando superiormente e inferiormente para ver por donde se encuentra.

Teorema de los 4 colores

Por ejemplo el teorema de los 4 colores que nos dice que todo mapa dividido en regiones se puede colorear con a lo más a los 4 colores sin que haya dos regiones con frontera común (que no sean puntos aislados) pintados ambas del mismo color. Esto los chavales que van al salón del estudiante lo han aprendido de sobra después de que se lo hayamos dicho 500 veces junto con los puentes.



La demostración de este hecho (algunos no consideran siquiera que pueda llamarse demostración por hacerse a ordenador aunque otros, incluso profesores de nuestra facultad dirán que se fian más del ordenador que de ellos mismos...) es muy compleja y de entrada no se sacó de la noche a la mañana.

Se empezó acotándolo inferiormente pues es fácil ver que hay grafos planares que requieren 4 colores para colorear sus vértices (es equivalente esto a dividir por regiones considerando como si los vértices fueran las regiones y las aristas cuales tienen frontera en común). Por ejemplo, el grafo conocido como K4 o lo que es lo mismo los vértices de un cuadrado conectados y sus diagonales sin que estas se pisen (haciendo que una de ellas vaya por fuera para que el grafo sea planar). Todas los vértices están conectados al resto así que claramente hacen falta 4 colores.

Primero se demostró que cualquier grafo se podía colorear con 8 colores, así por empezar con un número que funcionó. Ya sabemos que estará entre 4 y 8. (La demostración de esto no es difícil pero por extensión no la haremos aquí). Al no mucho tiempo se consiguió sin demasiada dificultad bajar a 7 y luego a 6. Dem de a lo sumo 6

La demostración para 5 si es mucho más técnica y ni de lejos he podido entenderla ni le voy a dedicar el tiempo  para hacerlo (al menos no aún). Y ya en 1976 se hizo la prueba por ordenador determinando el resultado. Este es un ejemplo en el que se sabe ahora la respuesta exacta pero hay otros que no.

Primos Gemelos

Los primos gemelos no son aquellos que se conocieron a la vez ni nada por el estilo. Son primos que están a distancia 2 el uno del otro (Topólogos aquí podéis matarme por rigor pero creo que se me entiende). Dicho de otra forma números de la forma p, p+2 ambos primos.

Todos (o al menos todo matemático que se precie) sabe que hay infinitos números primos, cosa que demostró Euclides hace más de 2000 años ya. Algo que no es tan evidente es si hay infinitos primos gemelos. Y la respuesta es... que no lo sabemos.

Lo que sí se ha podido calcular es cotas superiores de distancia entre primos manteniendo su infinitud. Para que nos entendamos lo que hasta ahora hemos demostrado es que hay infinitos primos que están a menos de 256 unidades, de entrada puede parecer un poco inútil pero ha sido un gran avance con respecto a las primeras cotas superiores. Sabemos que la respuesta exacta de cuál es la mínima distancia entre primos habiendo infinitos primos de dicha forma está entre 2 y 256.

Primero Yitang Zhang probó como cota superior 70 millones. A ver, de infinito a esto hay un trecho. Después usando razonamientos parecidos a lo que dijo Yitang Zhang se fue bajando la cantidad. Se hizo un proyecto para optimizar los argumentos y se bajó hasta 4680 y luego se siguió con métodos aún más complejos. Más información aquí: https://www.youtube.com/watch?v=QKHKD8bRAro


Ya por último que suponemos que estaréis un poco hartos os traemos la cota que podríamos decir es menos útil de todas en un problema.

Número de Grahm


Vamos a primero a introducir el problema y luego este número que tiene nombre propio. Supongamos así de entrada un cubo n-dimensional. Un cuadrado si n=2 el cubo de toda la vida si n=3, hipercubo si n=4 y así.

Ahora vamos a ver esto como un grafo  considerando las aristas que unen los vértices de la figura n-dimensional. Se trata de un grafo completo de 2^n vértices.  La idea ahora es colorear cada arista que une 2 vértices en uno de dos colores, digamos azul o rojo.

La pregunta es cuál es la dimensión mínima tal que para cualquier coloreado que hagamos existirán cuatro vértices coplanares* tal que el subgrafo formado por dichos 4 vértices solo tiene un color.

*Coplanares significa que los 4 vértices (el K4 que se generaría) está en el mismo plano.

El subgrafo formado por los 4 vértices para entendernos es el K4 formado por esos vértices y las conexiones entre ellos, y solo tiene un color si sus 6 aristas son todas bien rojas o azules. La respuesta está acotada inferiormente por 6 (es decir, con 5 existe un coloreado tal que no existe ningun coloreado monocromático de 4 vértices coplanares y con 6 no sabemos)

Lo divertido llega con la cota superior al problema. Vamos a introducir la notación de la flehca↑
Una sola flecha es la potencias a las que estamos acostumbrados. 3↑4 = 3*3*3*3 (3 multiplicado por si mismo 4 veces.)

Ahora la flecha doble va a ser de la misma manera que la potencia es repetir la multiplicación va a ser reiterar la potencia. 2↑↑4 = (2^(2^(2^(2))))= 65536. La triple flecha significaría hacer de forma reiterada la doble flecha y así sucesivamente es la recursión. Por si no te has quedado con la copla abajo hay una imagen explicándolo.

No es difícil ver que los números crecen a una velocidad pasmosa a medida que vamos añadiendo flechas.

La triple flecha A↑↑↑B la podemos ver como A escrito una cantidad B de veces con 2 flechas entre cada par de Bs y luego desarrollar esas dobles flechas de la misma manera ahora con flechas simples.

Más detalle por si no lo has entendido del todo (que es normal dado que es complicado en: Notación Flecha.

Vamos a construir una secuencia de números g1,g2... para llegar hasta el número de Grahm.
Llamamos g1 al número 3↑↑↑↑3 un número ya de por si inimaginable. Aunque agarraos porque esto es solo el principio.

g2 es 3↑↑↑↑...↑↑↑↑3 habiendo g1 flechas entre ambos treses. Creo que ya vais viendo por donde va la cosa...
g3 es 3↑↑↑↑...↑↑↑↑3 habiendo g2 flechas entre ambos treses. Podía seguir escribirlo pero creo que se entiende y me siento vago la verdad.

g64 es 3↑↑↑↑...↑↑↑↑↑3 con g63 flechas entre ambos treses. Esta preciosidad, g64 inimaginable de ninguna de las maneras y ni de lejos representable con potencias (por eso hemos recurrido a esta notación) es el número de Grahm.

Casi na,¿ y para que sirve este gigantesco número? Pues este es una cota superior del problema que definimos antes. Dicho de otra forma que hemos `acotado` la solución del problema entre 6 y eso. Siempre me ha hecho muchísima gracia como de bestia es esta acotación. Ahora cuando apliquéis Bolzano o los círculos de Gershgorin al buscar una raíz o un autovalor y penséis que tenéis que buscar en una zona muy amplia al menos no tenéis un margen como este que aplicar en coloreados de cubos n-dimensionales y seguro que ahora vuestro aburrido  útil problema de cálculo numérico no parece tan coñazo de tener que hacer 10 iteraciones a mano feo y tedioso.

Nos vemos en la próxima entrada y si hay algún tema del que queráis que escribamos o queréis mandarnos un artículo vuestro que os interesa que expongamos podéis hacerlo por culturamates@gmail.com o hablando con nosotros en persona. Ciao